北师大七年级第四章：动点、动角模型

动点、动角模型专题一、动点模型【例1】A、B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A、B两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动。（1）几秒后，原点O恰好在两点正中间（2）几秒后，恰好有OA:OB=1：2【练习1】已知，如图，线段AB=12cm，M是AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿线段BA向左运动，在运动过程中，点C始终在线段AM上，点D始终在线段BM上，点E、F分别是线段AC和MD的中点。（1）当点C、D运动了2s，求EF的长度；（2）若点C、D运动时，总是有MD=3AC，求AM的长。【练习2】如图，数轴上点A、C对应的数分别是a，c，且a，c满足2410ac，点B对应的数是-3.（1）求数a，c；（2）点A、B同时沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，若运动时间t秒，在运动过程中，点A、B两点到原点O的距离相等时，求t的值。【例2】如图，若点A在数轴上对应的数为a，若点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足：2210ab。（1）求线段AB的长；（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程12122xx的解，在数轴上是否存在点P，使PA+PB=PC，若存在，直接写出点P对应的数；若不存在，请说明理由。（3）在（1）的条件下，将点B向右平移5个单位长度至B，此时在原点O处放一个挡板，一小球甲从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从B处以2个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反方向运动，设运动时间为t（秒），求甲、乙小球到原点的距离相等时经过的时间。【练习1】已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。（1）若点P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、B的距离之和为5若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，它们同时出发，几分钟后P点到点A、B的距离相等【例3】已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由。（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动。当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少【练习1】如图，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO，射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s，P、Q同时出发，设运动时间是t（s）。（1）当点P在MO上运动时，PO=__________cm（用含t的代数式）；（2）当点P在MO上运动时，t为何值，能使OP=OQ（3）若点Q运动到距离O点16cm的点N停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q如果是，求出t的值；如果不能，请说明理由。【例4】如图，若点A在数轴上对应的数为a，若点B在数轴上对应的数为b，点A在负半轴，且3a，b是最小的正整数，（1）求线段AB的长；（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2134xx的解，在数轴上是否存在点P，使12PAPBBCAB，若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由。（3）如图Q是B点右侧一点，QA中点为M，N为QB的四等分点且靠近Q点，当Q在B的右侧运动时，有两个结论：①1324QMBN的值不变；②23QMBN的值不变，其中只有一个是正确的结论，请你判断正确的结论，并求出其值。【练习1】如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm，点P从O点出发沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发。（1）当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度；（2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求OBAPEF的值。【练习2】如图，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点。（1）出发多少秒后，PB=2AM（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM-BP为定值。（3）当P在AB的延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN的长度不变；②MA+PN的值不变。选择一个正确的结论，并求出其值。【例5】如图①，已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x。（1）PA=____________，PB=____________（用含x的式子表示）；（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。（3）如图②，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：ABBPMN的值是否发生变化请说明理由。（4）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问：它们同时出发，几分钟时间点P到点A、点B的距离相等【练习1】已知线段AB=m，CD=n，线段CD在直线AB上运动（A在B左侧，C在D左侧），若226mnn，（1）求线段AB、CD的长；（2）M、N分别为线段AC、BD的中点，若BC=4，求MN；（3）当CD运动到某一时刻时，D点与B点重合，P是线段AB延长线上任意一点，下列两个结论：①PAPBPC是定值；②PAPBPC是定值，请选择正确的一个并加以证明。【练习2】点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足2640ab.（1）求线段AB的长；（2）如图①，点C在数轴上对应的数为x，且是方程1154xx的根，在数轴上是否存在点P使14PAPBBCAB若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由。（3）如图②，若P是B点右侧一点，PA中点为M，N为QB的三等分点且靠近P点，当Q在B的右侧运动时，有两个结论：①1328pMBN的值不变；②34PMBN的值不变，其中只有一个是正确的结论，请你判断正确的结论，并求出其值。（选讲）【例6】如图①，已知线段AB=180厘米，线段AB上的动点P从端点A开始在两个端点A、B之间一直作往返移动ABAB，点P移动规则如下：第一次，点P从A点出发移动m（m0）厘米到达P1，第二次，点P从P1点出发移动2m厘米到达P2，第三次，点P从P2点出发移动3m厘米到达P3……（点P在移动过程中到达线段AB端点处立即折返移动）【例】如：①当m=30厘米时，P1、P2、P3、P4位置如图②所示，其中P3与点B恰好重合，AP1=m=30厘米，P1P2=2m=60厘米，P2P3=3m=90厘米，P3P4=4m=120厘米；②当m=20厘米时，P1、P2、P3、P4、P5位置如图③所示，其中P4是点P从P3移动到点B后折返到途中的位置（即P3B+BP4=4m=80厘米），而P5恰好与P2重合。仔细阅读上述材料后，解答下列问题：（1）若m=25厘米，请利用图④操作实践，则P2P3=________厘米；（2）若m取值在20厘米与29厘米之间，且点P4恰好平分线段P2P3，在图⑤中分析P1、P2、P3、P4的大概位置，并求出m的值。（3）若m的取值小于34厘米，且P2P4=20厘米，则m对应的值是_______________作业：1.已知线段AB=a，CD=b，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），2ab与26b互为相反数。（1）求a，b的值；（2）若M，N分别是AC，BD的中点，BC=4，求MN的长；（3）当CD运动到某一时刻，D点与B点重合，P是线段AB延长线上任意一点，问PAPBPC的值是否改变若不变，求出其值，若改变，请说明理由。2.如图，已知点A，B，C是数轴上三点，点C对应的数为6，BC=4，AB=12。（1）求点A，B对应的数；（2）动点P，Q同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动。M为AP的中点，N在CQ上，且CN=13CQ，设运动时间为t（t0）。①求点M，N对应的数（用含t的式子表示）②t为何值时，OM=2BN。3.如图，数轴上线段AB=2，CD=4，点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16.若线段AB以6个单位/秒的速度向右运动，同时线段CD以2个单位/秒的速度向左运动。（1）问运动多少秒时BC=8（2）当运动到BC=8时，点B在数轴上表示的数是_____________；（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式3BDAPPC若存在，求线段PC的长；若不存在，请说明理由。专题二、动角模型【例1】已知D是直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE。（1）如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=____________；若∠COF=m°，则∠BOE=________；∠BOE与∠COF的数量关系为_____________（2）在图2中，若∠COF=75°，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的三分之一若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由。（3）当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立请说明理由。若不成立，求出∠BOE与∠COF的数量关系。【练习1】已知：∠AOB=60°，OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线。（1）如图1，OC在∠AOB内部时，求∠DOE的度数；（2）如图2，将OC绕O点旋转到OB的左侧时，OD、OE仍是∠BOC和∠COA的平分线，求此时∠DOE的度数；（3）当OC绕O点旋转到OA的下方时，OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，∠DOE的度数又是多少（直接写出结论，不必写出解题过程）【练习2】已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．（1）若∠COF=14°，则∠BOE=____________；若∠COF=n°，则∠BOE=__________；∠BOE与∠COF的数量关系为_____________（2）当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立请说明理由。（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF=3∠DOE若存在，求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由。【练习3】已知：∠AOD=160°，OB、OM、ON是∠AOD内的射线。（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：∠DON=2：3，求t的值。【例2】已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OC上的点，线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转。（1）如图①，若∠AOB=140°，当OM、