高三四月份月考试题

增城市2007届华侨中学高三四月份月考试题数学(理科)第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集，，，，，，，7654321U，16AxxxN，，则UCA=（）A．B．7C．654321，，，，，D．7654321，，，，，，2.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是A．30B．60C．70D．803.已知命题P：,0b，cbxxxf2)(在,0上为增函数,命题Q：,|0Zxxx使0log02x，则下列结论成立的是（）A．﹁P∨﹁QB．﹁P∧﹁QC．P∨﹁QD．P∧﹁Q4.已知非负实数x、y同时满足240xy,10xy,则目标函数z=x2+(y+2)2的最小值是（）A．4B．5C．6D．75.设，为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若∥，l，则l∥；②若m，n，m∥，n∥，则∥；③若l∥，l⊥，则⊥；④若m、n是异面直线，m∥，n∥，且l⊥m，l⊥n，则l⊥.其中真命题的序号是A．①③④B．①②③C．①③D．②④6.如果将函数y＝sin2x＋3cos2x的图象按向量a平移后所得的图象关于y轴对称，那么向量a可以是A．(6，0)B．(－6，0)C．(12，0)D．(－12，0)7.将红、黑、白三个棋子放入如图所示的小方格内，每格只能放一个棋子，且3个棋子既不同行也不同列，则不同的放法有A．576种B．288种C．144种D．96种周长(cm)90频率/组距1001101201300.010.020.0480OO'MQPNBA结束:1/ssi输出s开始:0s1i8.已知21[1,0)()1[0,1]xxfxxx，，，则下列函数的图象错误．．的是第二部分非选择题(共110分)二.填空题(每小题5分,共30分)9.若复数21(1)zaai是纯虚数，则z=_________.10.如下图1，是计算1111...3599的程序框图，判断框应填的内容是________________,处理框应填的内容是______________.11.已知长方体ABCD—A1B1C1D1的顶点都在直径为3的球面上，AA1=AB=2，点E是DD1的中点，则异面直线A1E与B1D所成角的大小为是__________12.已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体：①当[0,)x时，函数值为非负实数；②对于任意的)()()(),,0[,tsftfsfts都有在三个函数123(),()21,()ln(1)xfxxfxfxx中，属于集合M的是第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分13.已知222436,xykz(其中0)k且txyz的最大值是7,则k14．将极坐标方程cos()4化为直角坐标方程是______________.15．如右图2，⊙'O和⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙'O于Q和M，交AB的延长线于N，MN＝3,NQ＝15，则PN＝__________．图1图2OEHECABDABCD三、解答题：本大题共6个小题．共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(x＋)(x∈R,A0,0,||π2)的部分图象如图所示,(1)试确定f(x)的解析式;(2)若f(a2π)=12,求cos(2π3－a)的值17．(本小题满分12分)在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮5次，若投中2次就为“及格”，若投中3次就为“良好”并停止投篮．已知甲每次投篮投中的概率是23．(1)求甲投了3次而不及格的概率;(2)设甲投篮投中的次数为，求随机变量的分布列及数学期望．18．(本小题满分14分)已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为CD的中点，沿AE将三角形AED折起，使DB＝23如图，O、H分别为AE、AB的中点．(1)求证：直线OH//面BDE；(2)求证：面ADE⊥面ABCE；(3)求二面角O—DH一E的余弦值．19．(本小题满分14分)已知函数．3()2fxxax与2()gxbxcx的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线．(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；(2)设()()ln(1)8mgxFxxx，其中0m，求F(x)的单调区间．20．(本小题满分14分)已知过抛物线x2＝4y的对称轴上一点P(0，m)(m0)作直线l，l与抛物线交于A、B两点．(1)若角AOB为锐角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围；(2)若l的方程为x-2y+12＝0，且过A、B两点的圆C与抛物线在点且(A在第一象限)处有共同的切线，求圆C的方程．21．(本小题满分14分)已知数列{na}、{nb}满足：111,1,41nnnnnbaabba.(1)求1,234,,bbbb;(2)求数列{nb}的通项公式；(3)设1223341...nnnSaaaaaaaa，求实数a为何值时4nnaSb恒成立．2007届华侨中学高三四月月考数学(理)试题参考答案及评分标准一、选择题答案BCCBADAD二、填空题题号9101112131415答案299i:2ii412()()fxfx922221()()444xy35三、解答题16.解:(1)由图象可知A=2,T4=56－13=12,∴T=2,ω=2πT=π…………………..3分将点P(13,2)代入y=2sin(x＋),得sin(π3＋)=1,又||π2,所以=π6………………………………..5分故所求解析式为f(x)=2sin(πx＋π6)(x∈R)………………………….6分(2)∵f(a2π)=12,∴2sin(a2＋π6)=12,即,sin(a2＋π6)=14……………………..8分∴cos(2π3－a)=cos[π－2(π6＋a2)]=－cos2(π6＋a2)=2sin2(π6＋a2)－1=－78…..12分17．解：(1)甲投了3次而不及格，即前3次中只有一次投中或三次都没有投中，其概率为31231127()()33327PC…………………………………………………4分(2)依题意，可以取0，l，2，3．当＝0时，表示连续5次都没投中，其概率为：511(0)()3243P；当＝l时，表示5次中仅有1次投中，其概率为：1452110(1)()()33243PC；当＝2时，表示5次中仅有2次投中，其概率为：22352140(2)()()33243PC;当＝3时，表示①连续3次都投中，其慨串为：328()327,或②前3次中有2次投中，且第四次投中，其概率为：2232128()33327C，或③前4次中有2次投中，且第五次投中，其概率为：222421216()()33381C，即881664(3)27278181P.………………………………………9分∴随机变量的概率分布列为：0123P124310243402436481数学期望：11040646667401232432432438124327E………11分答：(1)甲恰好投篮3次就通过的概率是727；(2)甲投篮投中的次数的数学期望是7427…………………………………………12分．18．(1)证明∵O、H分别为AE、AB的中点∴OH//BE，又OH不在面BDE内∴直线OH//面BDE……………………………………4分(2)O为AE的中点AD＝DE，∴DQAE∵DO=2，DB=23，BO2＝32+12=10∴222DBDOBO∴DOOB又因为AE和BO是相交直线所以，DO面ABCE，又OD在面ADE内∴面ADE面ABCE……………………………….8分(3)由(1)(2)知OA、OH、OD两两垂直，分别以OA、OH、OD为x、y、z轴建立空间坐标系，则A(2，0，0)，H(0，2，0)，E(-2，0，0)，D(0，0，2)，向量(0,2,2)(2,2,0)DHHE…………10分设平面DHE的法向量为n=(x，y，z)则n·DH＝0n·HE＝0220220yzxy即y=z,x=-z∴平面DHE的法向量为n＝(z，-z，z)，不妨没z0……………12分又(2,0,0)OA是平面DOH的法向量23cos,3||||23nOAzOAnnOAz由图二面角O—DH—E为锐角，所以，二面角O—DH—E的余弦值为33…………14分19．解：(1)∵3()2fxxax过点(2,0),P∴a=-83()28fxxx,…………………2分2()68fxxx∴切线的斜率(2)16kf………………3分∵2()gxbxcx的图像过点(2,0),P∴4b+2c=0,∵()2,(2)(2)416gxbxcfgbc,解得：b=8,c=-16……………5分∴2()816gxxx切线方程为16y＝（x-2）．即16x-y-32=0……………………………………7分(2)∵()(2)ln(1)(1)Fxmxxx11()(1)11mxmFxmxxx……………………………………9分当m0时，1[(1)]()1mxmFxx∵m0∴111m………………11分又x1当1(1,1)xm时()0Fx当1(1,)xm时()0Fx………………………………12分∴F(x)的单调减区间是1(1,)m∴F(x)的单调增区间是(1，11m)………………………………………………13分即m0时，F(x)的单调递增区间是(1，11m)，单调减区间是(11m，)…l4分20．解：(1)设l：y＝kx+m，代入抛物线x2＝4y的方程化简得x2-4ky-4m＝0，…………………………………………………1分∵mO∴△＝16k2+16m0恒成立设A(11,xy)．B(x2，y2)，则xl+x2＝4k，x1x2＝-4m．又角AOB为锐角，所以0OAOB………………………………………3分因为22121212121212()()(1)()OAOBxxyyxxkxmkxmkxxkmxxm，则22(1)(4)40kmkmkm，即240mm，又因为m0，解得m4；……………………………………………………………6分（2）解方程组242120xyxy，得69xy或44xy，由题意得A（6，9）、B（－4，4），又函数214yx的导数为12yx，所以过点A的公共切线斜率k＝3，由题意知圆C的圆心C是线段AB的垂直平分线1l和过点A与公共切线垂直的直线2l的交点，……………9分113:2(1)2lyx，即117:22lyx，21:9(6)3lyx，即21:113lyx，………………………………10分联立1l和2l的方程解得圆心坐标323(,)22C，圆半径22323510||(6)(9)222rCA……………………………………11分故所求圆方程为223125()22x23＋＋（y－）2………………………………12分21.解：（1)11(1)(1)(2)2nnnnnnnnbbbaabbb＋∵1113,44ab∴234456,,567bbb…………………………………4分（2）∵111