抛物线的简单几何性质测试卷

梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站典型例题一例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程)2(,22pxkypxy联立，解出),)11(,2)11((2222kkpkkpP))11(,2)11((2222kkpkkpQ直线OP的方程为,)11()11(2222xkkky即.)11(22xkky令2px，得M点纵坐标QMykkpy)11(2得证．由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．思路二：利用命题“如果过抛物线pxy22的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为1y、2y，那么221pyy”来证．设),(11yxP、),(22yxQ、),(33yxM，并从pxy22及)2(pxky中消去x，得到0222kppyky，则有结论221pyy，即122ypy．又直线OP的方程为xxyy11，2px，得1132xpyy．因为),(11yxP在抛物线上，所以pyx2112．从而212211113)(2yypyppyxpyy．这一证法运算较小．思路三：直线MQ的方程为oyy的充要条件是),2(),,2(0200ypyQypM．将直线MO的方程pyy02和直线QF的方程)2(2220pxpypyyo联立，它的解（x,y）就是点P的坐标，消去oy的充要条件是点P在抛物线上，得证．这一证法巧用了充梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站要条件来进行逆向思维，运算量也较小．说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立．典型例题二例2已知过抛物线)0(22ppxy的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以AB为三角形的底，只要确定高的最大值即可．解：设AB所在的直线方程为2pxy．将其代入抛物线方程pxy22，消去x得0222ppyypyyyyyyAB44)(222122121当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值．设直线l方程为bxy．代入抛物线方程得0222pbpyy由,0842pbp得2pb，这时),2(ppR．它到AB的距离为ph22∴△RAB的最大面积为2221phAB．典型例题三例3直线1l过点)0,1(M，与抛物线xy42交于1P、2P两点，P是线段1P2P的中点，直线2l过P和抛物线的焦点F，设直线1l的斜率为k．（1）将直线2l的斜率与直线1l的斜率之比表示为k的函数)(kf；（2）求出)(kf的定义域及单调区间．分析：2l过点P及F，利用两点的斜率公式，可将2l的斜率用k表示出来，从而写出)(kf，由函数)(kf的特点求得其定义域及单调区间．解：（1）设1l的方程为：)1(xky，将它代入方程xy42，得梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站0)42(2222kxkxk设),(),(),(222111yxPyxPyxP、、，则2222212,24kkxkkxx将222kkx代入)1(xky得：ky2，即P点坐标为)2,2(22kkk．由xy42，知焦点)0,1(F，∴直线2l的斜率22221122kkkkkk∴函数211)(kkf．（2）∵2l与抛物线有两上交点，∴0k且04)42(422kk解得01k或10k∴函数)(kf的定义域为1001kkk或当)0,1(k时，)(kf为增函数．典型例题四例4如图所示：直线l过抛物线pxy22的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线．分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论．证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0．设C、D的坐标分别为)2,2(121ptpt与)2,2(222ptpt．则211ttkCD∴l的方程为)2()(21pxtty∵直线l平分弦CD∴CD的中点))(),((212221ttpttp在直线l上，梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站即]2)()[()(22212121pttpttttp，化简得：0)21)((222121ttttp由0)(21ttp知0212221tt得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线．证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线∵焦点F在直线l上，∴DFCF由抛物线定义，),(),,(2211yxDyxC到抛物线的准线2px的距离相等．∵2121,yyxx，∴CD的垂直平分线l：0y与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略．典型例题五例5设过抛物线)0(22ppxy的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程．分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点),(00yx；待求得00yx、的关系后再用动点坐标)(yx，来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．解法一：设),,(),,(),,(002211yxNyxByxA则：2221212,2pxypxy，22221214pyyxxOBOA，1OBOAkk即02121yyxx042122221yypyy021yy，2214pyy①把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：),(0000xxyxyy显然00x0200)(xyxyyx代入,22pxy化简整理得：0)(222020020yxpypyyx梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站00x，0202021)(2xyxpyy②由①、②得：020202)(24xyxpp，化简得)0(02002020xpxyx用x、y分别表示00yx、得：)0(0222xpxyx解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设)2,2(2ptptA，则以OA为直径的圆方程为：)()()(242222ttpptyptx022222ptyptyx①设)2,2(121ptptB，OA⊥OB，则tttt1111在求以OB为直径的圆方程时以t1代1t，可得022)(222ptypxyxt②由①＋②得：0)2)(1(222pxyxt)0(0222xpxyx典型例题六例6如图所示，直线1l和2l相交于点M，1l⊥2l，点1lN，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到2l的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，7AM，3AN，且6BN，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以2l为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．解：以1l为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站由题意，曲线段C是N为焦点，以2l为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．∴设曲线段C满足的抛物线方程为：),0,)(0(22yxxxppxyBA其中Ax、Bx为A、B的横坐标令,pMN则)0,2(),0,2(pNpM，3,17ANAM∴由两点间的距离公式，得方程组：92)2(172)2(22AAAApxpxpxpx解得14Axp或22Axp∵△AMN为锐角三角形，∴Axp2，则4p，1Ax又B在曲线段C上，4262pBNxB则曲线段C的方程为).0,41(82yxxy典型例题七例7如图所示，设抛物线)10(22ppxy与圆9)5(22yx在x轴上方的交点为A、B，与圆27)6(22yx在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点．（1）求PQ．（2）求△ABQ面积的最大值．分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ．解：（1）设),(),,(),,(),,(),,(),,(2211yxQyxPyxDyxCyxByxADDCCBBAA梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站由pxyyx29)5(222得：016)5(22xpx，PxxxBA5212198)5(222222)(222ppppxxxxpxxpyyyBABABABA由pxyyx227)6(222得09)6(22xpx，pxxxDC622)(2222DCDCxxpyyy同1y类似，229ppy则0,12121yyxx，1PQ（2）BABAAPQABQxxPyyPQSSSBPQ2221)1(821022pppP10p，∴当21p时，ABQS取最大值21．梦幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站典型例题八例8已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，且点)0,1(A和点)8,0(B关于直线l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．分析：设出直线l和抛物线C的方程，由点A、B关于直线l对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程．或设OxB'，利用对称的几何性质和三角函数知识求解．解法一：设抛物线C的方程为pxy22)0(p，直线l的方程为kxy)0(k，则有点)0,1(A，点)8,0(B关于直线l的对称点为),(11'yxA、),(22'yxB，则有,11,2121111kxyxky解得;12,1121221kkykkx,18,2282222kxyxky解得.1)1(8,11622222kkykkx如图，'A、'B在