第十二章极限

普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第十二章《极限》一、选择题（共3题）1．（湖南卷）数列{na}满足:113a,且对于任意的正整数m,n都有mnmnaaa,则12lim()nnaaa()A.12B.23C.32D.2解析：数列}{na满足:311a,且对任意正整数nm,都有nmnmaaa2111119aaaa，1113nnnaaaa，∴数列}{na是首项为31，公比为31的等比数列。)(lim21nnaaa1112aq，选A.2．(陕西卷)n→∞lim12n(n2+1－n2－1)等于()A.1B.12C.14D.0解析：n→∞lim12n(n2+1－n2－1)=22222211lim2(11)(11)nnnnnnnn=22111lim42nnnn，选B．3．（四川卷）已知23,1()2,1xxfxx，下面结论正确的是（A）()fx在1x处连续（B）(1)5f（C）1lim()2xfx（D）1lim()2xfx解析：已知23,12,1xxfxx，则11lim()lim()5xxfxfx，而(1)2f，∴正确的结论是1lim5xfx，选D.二、填空题（共13题）4．（安徽卷）设常数0a，421axx展开式中3x的系数为32，则2lim()nnaaa__________。解：1482214rrrrrTCaxx，由18232,2,rrxxxr得4431=22rrCa由知a=，所以212lim()1112nnaaa，所以为1。5．（北京卷）22132lim1xxxx的值等于__________________.解：22132lim1xxxx＝1x1x2limx1x1x（）（＋）（＋）（－）＝1x21limx12x－＋＝－－6．（福建卷）如图，连结△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连结的△A1B1C1各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A(0,0),B(3,0),C(2,2)，则点M的坐标是.解：如图，连结ABC的各边中点得到一个新的111,ABC又连结111ABC的各边中点得到222ABC，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC，111ABC，222ABC，...，这一系列三角形趋向于一个点M。已知(0,0),(3,0),AB(2,2),C则点M的坐标是ABC的重心，∴M=52(,)337．（广东卷）、)2144(lim22xxx解析：4121lim)2144(lim222xxxxx8．（湖北卷）将杨辉三角中的每一个数rnC都换成1(1)rnnC，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出1111(1)(1)rxrnnnnCnCnC，其中x。令3311111113123060(1)nnnanCnC，则limnna。1111221113631111412124111115203020511111163060603061111111742105140105427…解：第一个空通过观察可得。2n12111n1Cnn1n1nn1n111111111112nn1nn1n1nnn1n1n1n＝＝（－）（＋）（＋）（－）－＋＝－＝－－＋＝＋－－＋－＋－＋2211111113123060(1)nnnanCnC＋＝（1＋13－1）＋（112243＋－）＋（13＋15－24）＋（14＋16－25）＋…＋（1n2－＋1n－1n1－）＋（1n1－＋1n1＋－2n）＝（1＋12＋13＋…＋1n1－）＋（13＋14＋15＋16＋…＋1n1＋）－2（12＋13＋…＋1n）＝〔（1＋12＋13＋…＋1n1－）－（12＋13＋…＋1n）〕＋〔（13＋14＋15＋16＋…＋1n1＋）－（12＋13＋…＋1n）〕＝1－1n＋1n1＋－12＝12＋1n1＋－1n所以limnna129．（江西卷）数列｛214n1－｝的前n项和为Sn，则nlimSn＝______________解：n211111a4n12n12n122n12n1＝＝＝（－）－（－）（＋）－＋故n12nSaaa＝＋＋…＋1111111112323522n12n1＝（－）＋（－）＋…＋（－）－[phone]n12n1＝（－＋－＋…＋－）－＋11122n1＝（－）＋nnn111limSlim122n12＝（－）＝＋10．（辽宁卷）2222464646()()...()575757lim545454()()...()656565nnnnn_____________【解析】22222222464646444666()()...()(...)(...)575757555777lim545454555444()()...()(...)(...)656565666555nnnnnnnnn4161[1()][1()]55771111511()()1()57577limlimlim15141115[1()][1()]()()()16655656111165nnnnnnnnnnnnn【点评】本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型.11．（山东卷）若1lim1,()nannan则常数.解析：12．(上海卷)计算：1lim33nCnn＝．解：33223333321(1)(2)321limlimlimlim161(1)3!(1)3!(1)3!nnnnnCnnnnnnnnnnnn；13．(上海卷)计算：23(1)______61limnnnn。11limlimlim(11)()1212nnnnanaannnananaa解：23(1)61limnnnn23111lim166nnn。14．（天津卷）设函数11xxf，点0A表示坐标原点，点*,NnnfnAn，若向量01121nnnaAAAAAA，n是na与i的夹角，（其中0,1i），设nnStantantan21，则nnSlim=．解析：函数11xxf，点0A表示坐标原点，点*,NnnfnAn，若向量01121nnnaAAAAAA=0nAA，n是na与i的夹角，111tan(1)nnnnn（其中0,1i），设nnStantantan21111111223(1)1nnn，则nnSlim=1．15．(重庆卷)nlim12)12(312nnn_________.解：213(21)lim21nnnn221lim212nnnn。16．（上海春）计算：3423limnnn.解：应用分子分母同除以n，便得从而应填3/4.