第十章排列、组合、二项式定理

普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第十章《排列、组合、二项式定理》一、选择题（共24题）1．（北京卷）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A）36个（B）24个（C）18个（D）6个解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有33A种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有1333CA，故共有33A＋1333CA＝24种方法，故选B2．（福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A）108种（B）186种（C）216种（D）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有3374AA=186种，选B.3．（湖北卷）在2431()xx的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A．3项B．4项C．5项D．6项解：7242431242431rrrrrrTCxCxx－－r＋＝（-）＝(-1)，当r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2的整数次幂，故选C4．（湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有()A.16种B.36种C.42种D.60种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有123436CA种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有3424A种方案，共计有60种方案，选D.5．（湖南卷）若5)1(ax的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是A．-2B.22C.34D.2解析：5)1ax（的展开式中3x的系数332335()(1)10Caxax=80x3，则实数a的值是2，选D6．（湖南卷）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A．6B.12C.18D.24解析：先排列1，2，3，有336A种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有222A种方法，共有12种方法，选B.7．（江苏卷）10)31(xx的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（A）0（B）2（C）4（D）6【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.【正确解答】1031xx的展开式通项为31010102121011()()()33rrrrrrCxCxx，因此含x的正整数次幂的项共有2项.选B【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令0x.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.8．（江西卷）在（x－2）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝2时，S等于（）A.23008B.-23008C.23009D.-23009解：设（x－2）2006＝a0x2006＋a1x2005＋…＋a2005x＋a2006则当x＝2时，有a0（2）2006＋a1（2）2005＋…＋a2005（2）＋a2006＝0（1）当x＝－2时，有a0（2）2006－a1（2）2005＋…－a2005（2）＋a2006＝23009（2）（1）－（2）有a1（2）2005＋…＋a2005（2）＝－230092＝－23008，故选B9．（江西卷）在2nxx的二项展开式中，若常数项为60，则n等于（）Ａ．3Ｂ．6Ｃ．9Ｄ．12解：n3rrnrrrr2r1nnrrn2TCx2Cxxn3r02C60－－＋＝（）（）＝－＝＝，由rrnn3r02C60－＝＝解得n＝6故选B10．（辽宁卷）1234566666CCCCC的值为（）Ａ．61Ｂ．62Ｃ．63Ｄ．64解：原式＝62262，选B11．（全国卷I）设集合1,2,3,4,5I。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．50种B．49种C．48种D．47种解析：若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有25C=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有35C=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有45C=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有55C=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有35C=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有45C=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有55C=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有45C=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有55C=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有55C=1种；总计有49种，选B.解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有25C=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有35C=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有45C=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有55C=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法。选B.12．（全国卷I）在1012xx的展开式中，4x的系数为A．120B．120C．15D．15解析：在101()2xx的展开式中，x4项是373101()()2Cxx=－15x4，选C.13．（全国II）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A）150种(B)180种(C)200种(D)280种解：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有3113521322CCCAA＝60种，若是1,1,3，则有1223542322CCCAA＝90种，所以共有150种，选A14．（山东卷）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33(B)34(C)35(D)36解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为113233CCA＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33个，选A15．（山东卷）已知2nixx的展开式中第三项与第五项的系数之比为－143,其中2i=－1，则展开式中常数项是(A)－45i(B)45i(C)－45(D)45解：第三项的系数为－2nC，第五项的系数为4nC，由第三项与第五项的系数之比为－143可得n＝10，则210110()()rrrriTCxx＝405210()rrriCx，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为8810()iC＝45，选A16．（山东卷）已知(xx12)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为143，则展开式中常数项是(A)－1(B)1(C)－45(D)45解：第三项的系数为2nC，第五项的系数为4nC，由第三项与第五项的系数之比为143可得n＝10，则2101101()()rrrrTCxx＝405210(1)rrrCx，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为8810(1)C＝45，选D17．（天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有144C种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有246C种方法；则不同的放球方法有10种，选A．18．（浙江卷）若多项式910102910102,)1()1()1(axaxaxaaxx则(A)9(B)10(C)－9(D)－10【考点分析】本题考查二项式展开式的特殊值法，基础题。解析：令2x，得10210921022aaaaa，令0x，得0109210aaaaa19．（浙江卷）函数f:|1,2,3||1,2,3|满足f(f(x))=f(x)，则这样的函数个数共有(A)1个(B)4个(C)8个(D)10个【考点分析】本题考查抽象函数的定义，中档题。解析：xfxff即xxf20（浙江卷）在二项式61x的展开式中，含3x的项的系数是(A)15(B)20(C)30(D)40解析：含3x的项的系数是36C＝20，选B21．(重庆卷)若x3—x1n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（A）－540（B）－162（C）162（D）540解析：若nxx13的展开式中各项系数之和为2n=64，6n，则展开式的常数项为33361(3)()Cxx=－540，选A.22．(重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有12542215CCA种方法，再将3组分到3个班，共有331590A种不同的分配方案，选B.23．(重庆卷)523x的展开式中2x的系数为（A）－2160（B）－1080（C）1080（D）2160解：5551552332rrrrrrrrTCxCx－－－＋＝（）（－）＝（－），由5－r＝2解得r＝3，故所求系数为322532C（－）＝－1080故选B24．(重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800（B）3600（C）4320（D）5040解：不同排法的种数为5256AA＝3600，故选B二、填空题（共21题）25．（安徽卷）设常数0a，421axx展开式中3x的系数为32，则a＝_____。解：1482214rrrrrTCaxx，由18232,2,rrxxxr得4431=22rrCa由知a=。26．（北京卷）在72()xx的展开式中，2x的系数中__________________（用数字作答）.解：73rr7rrrr2r+1772TCx2Cxx－－＝（）（－）＝（－）令73r22－＝得r＝1故2x的系数为172C（－）＝－1427。（北京卷）在72xx的展开式中，x3的系数是.（用数字作答）解：7721772()(2)rrrrrrrTCxCxx，令7－2r＝3，解得r＝2，故所求的系数为227(2)C＝8428．（福建卷）(x2－x1)2展开式中x2的系数是(用数字作答)解：251()xx展开式中，4x项为223243151()()10TCxxx，该项的系数是10.29．（广东卷）在112()xx的展开式中，5x的系数为________.解：85112)2()2(1121111111111111rrxCxxCTrrrrrrr所以5x的系数为1320)2()2(3113111111