三角函数小结-精品课件

三角函数小结知识体系构建专题归纳整合专题一三角函数式的求值与化简三角函数式的求值、化简的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式．例1已知sin2π＋θtanπ＋θtan3π－θcosπ2－θtan－π－θ＝1，则sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ的值是()A．1B．2C．3D．6【解析】由已知得sinθ·tanθ·－tanθsinθ·－tanθ＝1.即tanθ＝1，【答案】C于是sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ＝sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋3tanθ＋2tan2θ＋1＝3.专题二三角函数的性质三角函数性质主要包括五个方面：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性．图象和性质是三角函数特性的两个方面，是相互联系的，经常是结合图象来记忆性质、利用性质强化图象，要把它们结合在一起来理解和应用．例2已知函数f(x)＝2sin(2x－π6)＋a.(a为常数)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)若x∈[0，π2]时，f(x)的最小值为－2，求a的值．【解】(1)f(x)＝2sin(2x－π6)＋a.∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)当2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，故单调递增区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z)．(3)当x∈[0，π2]时，2x－π6∈[－π6，5π6]，∴当x＝0时f(x)取得最小值，即2sin(－π6)＋a＝－2，∴a＝－1.专题三三角函数的图象1．三角函数图象是三角函数在“形”上的体现，它为我们解决三角函数问题提供了直观表象，要正确理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象特征，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，还需根据图象识别出函数性质．2．三角函数的各种变换都是对自变量x或函数值y进行的变换．图象变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x＋φ来代替y＝f(x)中的x，周期变换是用ωx(ω0)代替x，振幅变换是用yA来代替y(A0)．例3用“五点法”作出函数f(x)＝sin(x＋π4)在一个周期内的图象，并画出f(|x|)的图象．【解】列表如下：x＋π40π2π3π22πx－π4π43π45π47π4f(x)＝sin(x＋π4)010－10描点作图，如图：f(|x|)＝fxx≥0f－xx0，f(|x|)的图象如下图：如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？例4【解】(1)由题中图象知A＝－12－－322＝12，k＝－12＋－322＝－1，T＝2×(2π3－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y＝12sin(2x＋φ)－1.∵点(π6，－12)在图象上，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y＝12sin(2x＋π6)－1.(2)把y＝sinx向左平移π6个单位，得到y＝sin(x＋π6)的图象，然后将所得函数图象上各点的纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12倍，得到y＝sin(2x＋π6)，再将函数y＝sin(2x＋π6)的图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍得到y＝12sin(2x＋π6)，最后把函数y＝12sin(2x＋π6)的图象向下平移1个单位，得到y＝12sin(2x＋π6)－1的图象．专题四数学思想1．数形结合思想在本章中，数形结合思想贯穿始终，主要体现在以下几个方面：利用单位圆给出三角函数的定义，并推导出同角三角函数的基本关系；利用三角函数线画正(余)弦及正切函数的图象．例5已知两个集合M＝{θ|sinθ≥12，0≤θ≤π}，N＝{θ|cosθ≤12，0≤θ≤π}，求M∩N.【解】法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y＝12，如图．结合图象得集合M、N分别为M＝{θ|π6≤θ≤5π6}，N＝{θ|π3≤θ≤π}．∴M∩N＝{θ|π3≤θ≤56π}．法二：作出单位圆的正弦线和余弦线，如图．由单位圆三角函数线知M＝{θ|π6≤θ≤5π6}，N＝{θ|π3≤θ≤π}．得M∩N＝{θ|π3≤θ≤56π}．2．转化与化归思想在解决三角函数的相关问题时，常用到转化与化归思想，如证明三角恒等式及条件求值等，常常是化繁为简、化异为同、化切为弦，有时也逆用，这些都体现了转化与化归思想．例6化简sin3π＋αcos－αcosπ－αtan3π＋αcos3－α－π＋cosα＋3πsin2α＋3πcos23π2＋αtanα＋5πtanπ＋αcos3π＋α【解】原式＝－sin3αcosα－cosαtan3α－cosα3＋－cosαsin2αsin2αtanαtanα－cosα3＝－sin3αcos2αsin3αcos3α·cos3α＋cosαsin4αsin2αcos2α·cos3α＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1.3．分类讨论思想由于三角函数的值及性质受角所在象限的影响，因此在解决某些问题时，就需要对角在不同象限的情况进行分类讨论．例7已知tanα＝43，试求sinα，cosα的值．【解】∵tanα＝yx＝430，∴x、y同号，且α是第一或第三象限角．如果α是第一象限角，由tanα＝43可知角α的终边上有一点P(3,4)，即x＝3，y＝4，∴r＝x2＋y2＝32＋42＝5，∴sinα＝yr＝45，cosα＝xr＝35.如果α是第三象限角，由tanα＝43可知角α的终边上有一点P(－3，－4)，即x＝－3，y＝－4，∴r＝|OP|＝x2＋y2＝5，∴sinα＝yr＝－45，cosα＝xr＝－35.综上知，sinα＝45，cosα＝35或sinα＝－45，cosα＝－35.