平板波导理论

1第一章平板波导的射线理论光束在介质中传输时，由于介质的吸收和散射而引起损耗，由于绕射而引起发散，这些情况都会导致光束中心部分的强度不断地衰减。因此，有必要设计制作某种器件，它能够引导光束的传播，从而使光束的能量在横的方向上受到限制，并使损耗和噪声降到最小，这种器件通常称为光波导，简称波导。结构最简单的波导是由三层均匀介质组成的，中间的介质层称为波导层或芯层，芯两侧的介质层称为包层。芯层的介电常数比芯两侧包层的介电常数稍高，使得光束能够集中在芯层中传输，因而起到导波的作用。这种波导的介电常数分布是陡变的，也称为阶梯变化的，常称这种波导为平板波导。对光波导特性的分析，应用两种理论，即射线光学理论和波动光学理论。射线光学理论的优点是对平板波导的分析过程简单直观，对某些物理概念能给出直观的物理意义，容易理解。缺点是对于结构复杂的多层波导射线光学理论不便于应用，或只能得出粗糙的结果。一般而言，若想全面、正确地分析各种结构的光波导的模式特性，还必须采用波动理论。光射线，简称射线或光线，可以这样理解：一条很细很细的光束，它的轴线就是光射线。它的方向沿着光能流的方向。光线与光束是不同的，光线是无限细的，光束则有一定的尺寸。光线在均匀介质中的传输轨迹是一条直线，在非均匀介质中的传输轨迹是一条曲直线。用射线去代表光能量传输路线的方法称为射线光学。射线光学是忽略光波长的光学，亦即射线理论是光波长趋于零的波动理论。本章将应用射线光学的基本理论对三层平板波导加以分析，目的是对波导的导波原理和与之相关的某些物理概念为读者给出直观的物理意义和清晰的理解，并为以后运用波动光学理论分析各种结构光波导的模式特性打好基础。1.1模式类型我们把波导中所能传输的电磁场型称为波导的模式，在平板波导中存在两种基本模式，一种称为TE模，另一种称为TM模。两种模式用光的电场和磁场的偏振方向来定2义比较直观。选择电场只沿平行于波导界面的方向偏振，此时电场垂直于光的传播方向，是横向的，因而把这种模式称为横电模，英文为TransverseElectricMode，取其字头称为TE模。选择磁场只沿平行于波导界面的方向偏振，此时磁场垂直于光的传播方向，是横向的，因而把这种模式称为横磁模，英文为TransverseMagneticMode，取其字头称为TM模。根据模式的导波性或辐射性，可进一步把模式分为导引模式和辐射模式，前者简称导模，而后者简称辐射模。现来研究三层平板波导，其横截面和相对介电常数分布如图1-1所示，光沿垂直纸面的z方向传输，图中b为波导芯厚度，1、2、3分别为芯层、下包层和上包层的相对介电常数，相应的折射率分别为n1、n2、n3，它们与相对介电常数的关系为211n、222n、233n。为了分析方便，常令321，或321nnn。当上下包层为同一种介质时，32，此时为对称三层波导，当上下包层为两种不同的介质时，32，此时为非对称三层波导。令光沿z方向传输，光在y方向不受限制。下面我们对非对称三层波导进行分析，即321、321nnn。对于对称三层波导，只要在分析结果中令32nn即可。024681002468101230b(x)xy0xb上包层下包层波导芯2=n221=n123=n32图1-1三层平板波导的横截面图及相对介电常数分布，123，当2=3时为对称三层平板波导，当23时为非对称三层平板波导。1.1.1折射定律和全反射3光在波导中传输时，从射线的角度来看，要不断地在波导的两个界面上发生反射和折射，如图1-2所示。反射光的轨迹在芯层中是一个锯齿波。令入射角为1，在下界面的折射角为2，在上界面的折射角为3。当入射角1较小时光在上下两个界面上都不发生全反射，此时光在上下两个界面上的折射满足折射定律2211sinsinnn3311sinsinnn(1.1-1)即有332211sinsinsinnnn(1.1-2)由式(1.1-1)可得2121sinsinnn3131sinsinnn(1.1-3)因为321nnn，由式(1.1-2)可判断出321。当入射角1增大时，折射角为2和3也随之增大。当3增大到90时，光在上界面上发生全反射。如果入射角1继续增大，使得2也增大到90时，光在下界面上也要发生全反射。光发生全反射时的入射角称为临界角。由式(1.1-3)可得到光在下、上两个界面上发生全反射时的临界角12、13分别为1212arcsinnn1313arcsinnn(1.1-4)因为32nn，所以1312。1.1.2空间辐射模当入射角较小时，使得光在上下两个界面上都不发生全反射，如图1-2所示。在这种情况下，光在传输过程中不断地有折射光进入上下包层，即光能量不断地从上下包层中辐射出去，这种模式称为空间辐射模。因此若产生空间辐射模，入射角1必须满足下述条件13131arcsinnn(1.1-5)由上式还可得到4311sinnn(1.1-6)我们定义11sinnN为模式的有效折射率。引入有效折射率的概念后，产生空间辐射模的条件又可写为3nN(1.1-7)令002k，称k0为为真空中波数，0真空中光波长，并定义Nk0为模式的传播常数，它是波矢k的z分量，即zk。引入传播常数的概念后，上式两端同乘以k0，因此产生空间辐射模的条件又可写为300nkNk(1.1-8)我们把产生空间辐射模的条件合写如下13131arcsinnn311sinnnN300nkNk(1.1-9)传播常数的单位通常采用cm-1或mm-1。024681002468102n3n2n1131图1-2空间辐射模1.1.3衬底辐射模如果入射角1增大到使光在上界面发生全反射但在下界面还没发生全反射，如图1-3所示。此时光在传输过程中不断地有折射光进入下包层，即光能量不断地从下包层(有时也为衬底)中辐射出去，这种模式称为衬底辐射模。因此若产生衬底辐射模，入射角1必须满足下述条件5121211313arcsinarcsinnnnn(1.1-10)由上式还可把产生衬底辐射模的条件写为2113sinnnNn(1.1-11)上式两端同乘以真空中波数k0，产生空间辐射模的条件又可写为20030nkNknk(1.1-12)024681002468102n3n2n111图1-3衬底辐射模1.1.4导模如果入射角1增大到使光在上下两个界面上都发生全反射时，此时上下包层中不再有折射光，如图1-4所示。在这种情况下，光能量不再向包层中辐射，光被限制在波导芯中以锯齿波的形式沿z方向传输，这种模式称为导模。因此若产生导模，入射角1必须满足下述条件11212arcsinnn(1.1-13)由上式还可把产生导模的条件写为1112sinnnNn(1.1-14)上式两端同乘以真空中波数k0，产生空间辐射模的条件又可写为10020nkNknk(1.1-15)602468100246810n3n2n111图1-4导模1.1.5禁区如果入射角1增大到90，则光将沿z方向前进，此时导模的有效折射率N=n1，传播常数10nk，这是导模最大可能的传播常数。对于组成波导的各层介质都是线性的情况，Nn1或10nk的区域为禁区，代表不存在模式的区域。1.1.6表面模对于某些特殊结构的波导，如金属包层波导和非线性波导，会出现其有效折射率大于n1、传播常数大于k0n1的情况。这种Nn1或10nk的模式称为表面模。1.2全反射相移光在波导界面上发生全反射时，入射角大于临界角。以下界面为例，有11212arcsinnn或0sin122122nn(1.2-1)下面我们分别讨论TE和TM模由全反射而引起的相移。1.2.1TE模的全反射相移TE模的反射系数公式为22112211coscoscoscos'nnnnEEr(1.2-2)7式中E、'E分别为入射场强和反射场强。光在下界面发生全反射时，利用式(1.1-1)和(1.2-1)可得2112212222112222121222sin1sin1sin1cosnnnnn212212212sinnnnj(1.2-3)上式说明发生全反射时折射角2变为虚数。上式代入式(1.2-2)得到21221221112122122111sincossincos'nnjnnnjnEEr1121221221cossinarctan2expnnnj122expj(1.2-4)上式表明，光在下界面发生全反射时，反射光和入射光之间产生一个相移212，其中112122122112cossinarctan22nnn(1.2-5)令122T133T(1.2-6a)2122101Nnk2122202nNk2123203nNk(1.2-6b)则有1102112212102122101cossinnknnkNnk(1.2-7a)2122122102122202sinnnknNk(1.2-7b)82123122102123203sinnnknNk(1.2-7c)代入式(1.2-5)则有212112122122112arctan2arctan2cossinarctan22Tnnn(1.2-8)同理，光在上界面发生全反射时的也要产生一个相移213，其中313112123122113arctan2arctan2cossinarctan22Tnnn(1.2-9)1.2.2TM模的全反射相移TM模的反射系数公式为12211221coscoscoscos'nnnnEEr(1.2-10)光在下界面发生全反射时，上式(1.2-3)代入式(1.2-10)得到212212212112212212212112sincossincos'nnnnjnnnnnjnEEr11212212212221cossinarctan2expnnnnnj122expj(1.2-11)其中212为光在下界面发生全反射时，反射光和入射光之间产生的相移1121221221222112cossinarctan22nnnnn(1.2-12)此时令1222212nnT1233213nnT(1.2-13a)2122101Nnk2122202nNk2123203nNk(1.2-13b)仍有1102112212102122101cossinnknnkNnk(1.2-14a)2122122102122202sinnnknNk(1.2-14b)92123122102123203sinnnknNk(1.2-14c)代入式(1.2-12)则有21222211121221221222112arctan2arctan2cossinarctan22Tnnnnnnn(1.2-15)同理，光在上界面发生全反射时，反射光和入射光之间也要产生一个相移213，其中31233211121231221232113arctan2arctan2cossinarctan22Tnnnnnnn(1.2-16)对于TE和TM模，T2、T3的定义是不同的，参见式(1.2-6a)、(1.2-13a)，因而它们的全反射相移也是不同的。这些全反射相移称为nchen