2019年永州中考数学试题及解析

永州市2019年初中学业水平考试数学(试题卷)温馨提示：1．本试卷包括试题卷和答题卡，考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．2．考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回．3．本试卷满分150分，考试时量120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明．亲爱的同学，请你沉着冷静，细心审题，运用技巧，准确作答，祝你成功！ー、选择题(本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上．每小题4分，共40分)1．（2019·永州）－2的绝对值为A．21B．21C．－2D．2【答案】D【解析】负数的绝对值是它的相反数，所以－2的绝对值为2，故选D．2．（2019·永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】B【解析】把选项B中图形沿正中间竖直的一条直线折叠后能完全重合，所以选项B是轴对称图形，故选B．3．（2019·永州）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是A．1.4042×106B．14.042×105C．8.94×108D．0.894x109【答案】C【解析】因为1亿=1×108，所以8.94亿=8.94×108．故选C．4．（2019·永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块(经抽象后)按如图所示的方式放在自己正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是【答案】B【解析】根据三视图的定义判断选B．5．（2019·永州）下列运算正确的是A．a2＋a3＝a5B．(a3)2=a5C．(a·b)2=a2·b2D．baba【答案】C【解析】选项A不是同类项，不能合并；选项B属于幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a3)2=a6；选项C属于积的乘方，等于把积里每一个因式分别乘方，正确；选项D不是同类二次根式，不能合并．故选C．6．（2019·永州）现有一组数据：1，4，3，2，4，x．若该组数据的中位数是3，则x的值为A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】除x外，把这组数据由小到大排列为：1，2，3，4，4，因为中位数是3，所以只能是21(3＋x)=3，因此x=3，故选C．7．（2019·永州）下列说法正确的是A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度【答案】D【解析】选项A中，可能是“SSA”的情形，不能判定两个三角形全等；选项B中，没有“对角线互相平分”这一条件，不能判定四边形为平行四边形，更不能判定为矩形；选项C中，如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于90°；只有选项D正确．8．（2019·永州）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为A．40B．24C．20D．15【答案】B【解析】∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∵O是BD的中点，∴BO=DO，又∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．在Rt△ABO中，BO=21BD=4，AO=22BOAB=2245=3，∵AC=2AO=6，∴四边形ABCD的面积为21AC×BD=21×6×8=24．故选B．9．（2019·永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4﹕5﹕4﹕2，各基地之间的距离之比a﹕b﹕c﹕d﹕e＝2﹕3﹕4﹕3﹕3(因条件限制，只有图示的五条运输渠道)，当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】设a＝2x，则b＝3x，c＝4x，d＝3x，e＝3x，设甲、乙、丙、丁各基地的产量分别为4y，5y，4y，2y，总运费为W，则W甲＝2x×5y＋3x×4y＋3x×2y＝28xy，W乙＝2x×4y＋3x×4y＋5x×2y＝30xy，W丙＝4x×3y＋3x×5y＋4x×2y＝35xy，W丁＝3x×4y＋5x×5y＋4x×4y＝53xy，W甲最小，故选A．10．（2019·永州）若关于x的不等式组04062mxmx有解，则在其解集中，整数的个数不可能．．．是A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由原不等式组得426mxmx这时原不等式组的解为264mxm，故有264mm，解得m＜4．当m=0时，原不等式组的解为21241x，整数解有2个；当m=－1，原不等式组的解为21341x，整数解有4个；当m=3时，原不等式组的解为2343x，整数解有1个；故选C．二、填空题(本大题共8个小题，请将答案填在答题卡上的答案栏内．每小题4分，共32分)11．（2019·永州）分解因式：x2＋2x＋1＝．【答案】(x＋1)2【解析】x2＋2x＋1是完全平方式，所以x2＋2x＋1＝(x＋1)2．12．（2019·永州）方程xx112的解为．【答案】x=－1【解析】去分母得，2x=x－1，解得x=－1，经检验，x=－1是原方程的解，所以原方程的解是x=－1．13．（2019·永州）使代数式1x有意义的x取值范围是．【答案】x≥1【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以x－1≥0，解得x≥1．14．（2019·永州）下表是甲乙两名同学近五次数学测试(满分为100分)的成绩统计表：同学第一次第二次第三次第四次第五次甲9088929491乙9091939492根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是．【答案】乙【解析】甲x=51×(90＋88＋92＋94＋91)=91，甲x=51×(90＋91＋93＋94＋92)=92，2甲S=51×[(90－91)2＋(88－91)2＋(92－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]=4，2乙S=51×[(90－92)2＋(91－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(92－92)2]=2，所以乙的成绩较好且比较稳定．15．（2019·永州）已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝．【答案】4【解析】∵∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠COB=30°，∵DE⊥OA，∴∠DFO=90°－60°=30°，∴∠DFO=∠COB=30°，∴DF=DO，在Rt△EDO中，DO=2DE=4，∴DF=4．16．（2019·永州）如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1﹕S2＝．【答案】1﹕8【解析】∵F是△ABC的重心，∴EF﹕BF=1﹕2，∴EF﹕BE=1﹕3，∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，∴S△EFG﹕S△EBC＝EF2﹕BE2=1﹕9，∴S1﹕S2＝1﹕8．17．（2019·永州）如图，直线y＝4－x与双曲线y＝x3交于A，B两点，过B作直线BC⊥y轴，垂足为C，则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是．【答案】(2，1)，(－1，1)【解析】联立y＝4－x与y＝x3，求得A(1，3)，B(3，1)，则OA的中点坐标为(21，23)，OA=2231=10，所以圆的半径为210．设所求的交点坐标为(m，1)，则有222)210()231()21(m，解得m=2或－1，因此设所求的交点坐标为(2，1)，(－1，1)．18．（2019·永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a＋b)n的展开式(按b的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15的展开式按x的升幂排列得：(s＋x)15＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15．依上述规律，解决下列问题：(1)若s=1，则a2＝．(2)若s=2，则a0＋a1＋a2＋…＋a15＝．【答案】(1)105(2)315【解析】(1)当s=1时，(1＋x)1=1＋x(1＋x)2=1＋2x＋x2a2＝1(1＋x)3=1＋3x＋3x2＋x3a2＝3＝1＋2(1＋x)4=1＋4x＋6x2＋4x3＋x4a2＝6＝1＋2＋3(1＋x)5=1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5a2＝10＝1＋2＋3＋4(1＋x)6=1＋6x＋15x2＋20x3＋15x4＋6x5＋x6a2＝15＝1＋2＋3＋4＋5当n=15时，a2＝1＋2＋3＋4＋……＋14＝21×(1＋14)×14＝105．(2)若s=2，令x=1，则(2＋1)15=a0＋a1＋a2＋…＋a15，即a0＋a1＋a2＋…＋a15＝315．三、解答题(本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程，共78分)19．（2019·永州）(本小题8分)计算：(－1)2019＋12×sin60°－(－3)．解：原式＝－1＋2332＋3＝－1＋3＋3＝5．20．（2019·永州）(本小题8分)先化简，再求值：11122aaaaaaa，其中a＝2．解：原式＝11)1)(1()1(aaaaaaaa＝11aa＝111aaaa＝11a．当a＝2时，原式＝121＝－1．21．（2019·永州）(本小题8分)为了测量某山(如图所示)的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．(可能用到的数据：2≈1．414，3≈1．732)解：由题意知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，设AB＝x，则BC＝x，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝BDAB，∴tan30°＝400xx，∴33＝400xx，解得x=2003＋200≈546.4．答：山高AB为546.4米．22．（2019·永州）(本小题10分)在一段长为1000米的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A点的距离y(米)与其出发的时间x(分钟)的函数图象如图所示，乙的速度是150米/分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．(1)当x为何值时，两人第一次相遇？(2)当两人第二次相遇时，求甲的总路程．解：(1)250x=150(x＋0.5)，解得x=0.75．(2)甲返回时的速度为1000÷(10－5)=200米/分钟，200(x－5)＋150(x＋0.5)=1000，解得x=5.5．所以甲的总路程为1000＋200(x－5)=1000＋200(5.5－5)=1100(米)．23．（2019·永州）(本小题10分)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧AC⌒上取一点D，使CD⌒＝AB⌒，将△ADC沿AD对折，得到△ADE，连接CE．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若CE＝3CD，劣弧CD⌒的弧长为，求⊙O的半径．解：(1)延长AD交CE于点F，由对折知，CD=ED，AC=AE，∴AD是CE的垂直平分线，∴AF⊥CE，∵CD⌒＝AB⌒，∴∠CAE=∠ACB，∴AF∥BC，