第七章--平面问题的有限单元法(Q4)

四边形单元2引言3节点三角形单元是常应变（常应力）单元。在应变梯度较大的部位（亦即应力梯度较大的部位），单元划分应适当密集，否则不能反映真实的应变变化而导致较大的误差。提高计算精度的其它措施采用高精度三角形单元（2次单元、3次单元…）采用四边形单元（1次单元、2次单元…）34节点四边形单元412341234uxyxyvxyxy112131411212232422312333433412434444uxyxyuxyxyuxyxyuxyxy构造位移函数：112131411212232422312333433412434444vxyxyvxyxyvxyxyvxyxy对u,v分别利用节点条件：4节点四边形单元51111112222223333334444441111uxyxyuxyxyuxyxyuxyxy112213344uuuuT11112222333344441111xyxyxyxyxyxyxyxyTTTT*1*T对于一般四边形，逆矩阵的表达式比较复杂。4节点四边形单元T的伴随矩阵64节点四边形单元1122334411223344uNuNuNuNuvNvNvNvNv12341234uxyxyvxyxy112213344uuuuT112213344vvvvT1,2,3,4iiiiiNabxcydxyi4节点四边形单元的形函数74节点四边形单元112212343123434400000000uvuvNNNNuuNNNNvvuvN—单元形状函数矩阵de—单元节点位移矩阵(,)(,)exyxyuNd四边形单元内任意一点的位移84节点四边形单元特例：4节点矩形单元0010020030041(1)(1)41(1)(1)41(1)(1)41(1)(1)4xxyyNabxxyyNabxxyyNabxxyyNab00,xy矩形单元的重心坐标123412340000(,)0000NNNNxyNNNNN3412022xxxxx2314022yyyyy342122xxxxa324122yyyyb4节点四边形单元11223344displacementsatnode1displacementsatnode2displacementsatnode3displacementsatnode4euvuuuuuudx,uy,v1(x1,y1)(u1,v1)2(x2,y2)(u2,v2)3(x3,y3)(u3,v3)2afsyfsx4(x4,y4)(u4,v4)2b4节点四边形单元114124134144(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)NNNN1134atnode111134atnode211134atnode311134atnode41(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)1(1)(1)0NNNNDelta条件4123411414[(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)][2(1)2(1)]1iiNNNNNPartitionofunity14(1)(1)jjjN1(1,1)(u1,v1)2(1,1)(u2,v2)3(1,+1)(u3,v3)2a4(1,+1)(u4,v4)2b114节点四边形单元1234123400000(,)00000xNNNNxyNNNNyyxBLNTdeetKBDB应变矩阵刚度矩阵11111111111111110000100004aaaabbbbaaaabbbbBLN00,xxayyb不再是常数矩阵！12等参单元对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对于矩形单元，相应的计算要简单的多。矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（包括高次曲边四边形单元）。引入等参单元等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。13等参单元等参单元：用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示出单元的几何坐标与位移的单元，称为等参单元。如果坐标变换节点数多于位移插值的节点数，称为超参变换。反之，如果坐标变换节点数少于位移插值的节点数，则称为亚参变换。等参单元的插值函数用自然坐标给出。2(x2,y2)yx1(1,1)2(1,1)3(1,+1)4(1,+1)3(x3,y3)4(x4,y4)1(x1,y1)物理坐标系自然坐标系(,)(,)euNd(,)(,)exNx(,)(,)xxyy映射关系14等参单元(,)(,)xxyy12341234xy(,)(,)iiiiiixxyy节点条件：112131411212232422312333433412434444xxxx11234212343123441234xxxx11332244(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)2(x2,y2)yx1(1,1)2(1,1)3(1,+1)4(1,+1)3(x3,y3)4(x4,y4)1(x1,y1)15等参单元11223344111111111111141111xxxx11223344111111111111141111yyyy123411223344123411223344xNxNxNxNxyNyNyNyNy同理：132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNN(,)(,)exNx112212343123434400000000xyxyNNNNxxNNNNyyxy几何坐标16等参单元12341234((,),(,))(,)((,),(,))(,)uxyuvxyv(,)(,)iiiiiiuuvv节点条件：11332244(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)位移函数17等参单元112131411212232422312333433412434444uuuu11234212343123441234uuuu11223344111111111111141111uuuu11223344111111111111141111vvvv同理可得：18等参单元123411223344123411223344((,),(,))((,),(,))uxyNuNuNuNuvxyNvNvNvNv132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNN11221234312343440000((,),(,))0000((,),(,))uvuvNNNNuxyuNNNNvxyvuv((,),(,))(,)exyuNd19等参单元单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示。形状函数用自然坐标给出。(,)(,)exNx((,),(,))(,)(,)exyuuNq132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNN20等参单元形函数性质)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(414413412411NNNN1134atnode111134atnode211134atnode311134atnode41(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)1(1)(1)0NNNNDelta性质4123411414[(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)][2(1)2(1)]1iiNNNNN单位分解性)1)(1(41jjjN1(1,1)(u1,v1)2(1,1)(u2,v2)3(1,+1)(u3,v3)2a4(1,+1)(u4,v4)2b21等参单元1234123400000(,)00000xNNNNNNNNyyxB((,),(,))(,)(,)(,)eexyεuNqBq132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNNiiNxNy?应变矩阵22等参单元1iiiiiiiiiiiiiiiNN