牛吃草

牛吃草问题郑航附小刘由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。牛吃草问题的公式解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰假设定一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。导入：“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，同学们一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题，牛吃草问题是牛顿问题的俗称。英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？假设每头牛每天吃草1份.10×20＝200份15×10＝150份200－150＝50份草场每天长草：50÷﹙20－10﹚＝5份草场原来有草：200－5×20＝100份让5头牛吃新草，则余25-5=20头牛吃老草，100÷29＝5（天）答：25头牛,这片牧草5天正好被吃完.设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。200－150＝50（份），20—10＝10（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草（l0—5）×20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。所以，这片草地可供25头牛吃5天。在例1的解法中要注意三点：（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。1、一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。那么，可供21头牛吃几周？1、假设1头牛一周吃的草的数量为1份,那么27头牛6周需要吃27×6=162（份草）,此时新草与原有的草也均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份草）,此时新草与原有的草也都被吃完.而162份草是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和.2、207份是原来的草的数量与9周新长出的草的数量的总和,因此每周新长出来的草的份数为：（207－162）÷（9－6）=15（份）.3、原有草的数量为：162－15×6=72（份）.4、这片草地可供21头牛吃：72÷（21－15=12（周）练习22、一片牧场长满草，每天均速生长。这片牧场可供5头牛吃8天，可供14头牛吃2天，问可供10头牛吃几天？设1头牛1天吃的草为1份牧场上的草每天自然生长（8×5-14×2）÷（8-2）=2（份）；原来牧场有草5×8-2×8=24（份）；让2头牛去吃新草可供10头牛吃24÷（10-2）=3（天）.练习3：3、一片牧草，每天生长的速度相同，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，可供30头牛吃多少天？练习3：假设每头牛每天吃草1份.10×20＝200份15×10＝150份200－150＝50份草场每天长草：50÷﹙20－10﹚＝5份草场原来有草：200－5×20＝100份让5头牛吃新草，则余30-5=25头牛吃老草，100÷25＝4（天）答：30头牛,这片牧草4天正好被吃完.4、一块牧场长满草，每天牧草都均匀生长。这片牧场可供15头牛吃10天，或供25头牛吃5天。现有一群牛20天才将草吃光，请问这群牛有多少头？4、一块牧场长满草，每天牧草都均匀生长。这片牧场可供15头牛吃10天，或供25头牛吃5天。现有一群牛20天才将草吃光，请问这群牛有多少头？5、草场上的草匀速生长，每人每天的割草量相等．一片草若用17人去割，30天可以割完；若用19人去割，则只需24天就能割完．现在需要6天将草割完，至少要多少个人？设每人每天割草1份，原有草+30×草每天生产量=17×30…①原有草+24×草每天生产量=19×24…②①-②，得：草每天生产量=（17×30-19×24）÷（30-24）=9（份）带入①，得：原有草=（17-9）×30=240（份）首先让9人割草来平衡草的生产量，没有新的积压，另外每天需要的人数：240÷6=40（人）9+40=49（人）答：至少要49个人．5、设每人每天割草1份，原有草+30×草每天生产量=17×30…①原有草+24×草每天生产量=19×24…②①-②，得：草每天生产量=（17×30-19×24）×（30-24）=9（份）带入①，得：原有草=（17-9）×30=240（份）首先让9人割草来平衡草的生产量，没有新的积压，另外每天需要的人数：240÷6=40（人）9+40=49（人）答：至少要49个人．6、有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？6、设一头牛每天吃一份.每天新增草量：(10×20-15×10)÷(20-10)=5份原有草量：(10-5)×20=100份可供25头牛吃：100÷(25-5)=5（天）7、一片牧场,24头牛,6天可以将草吃完.21头牛,8天可以吃完.若有16头牛,则几天可以将草吃完?(草每天增长的量是相等的,每头牛吃草的量也是相等）7、（1）24头牛6天所吃的牧草为：24×6＝144（这144包括牧场原有的草和6天新长的草.）（2）21头牛8天所吃的牧草为：21×8＝168（这168包括牧场原有的草和8天新长的草.）（3）1天新长的草为：（168－144）÷（8－6）＝12（4）牧场上原有的草为：24×6－12×6＝72（5）每天新长的草足够12头牛吃,16头牛减去12头,剩下4头吃原牧场的草：72÷（16－12）＝72÷4＝18（天）所以养16头牛,18天才能把牧场上的草吃尽.8、一片牧场,24头牛,6天可以将草吃完.21头牛,8天可以吃完.要使牧场草永远吃不完,至多可以放牧几头牛吃完牧草（草每天增长的量是相等的,每头牛吃草的量也是相等）8、24头奶牛6天吃的草量：24×6=144（份）21头8天吃完的草量：21×8=168（份）每天新长的草量：（168-144）÷（8-6）=12（份）要使牧场的草永远吃不完,最多放养12头奶牛.答：略.9、假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上资源可供110亿人生活90年，或90亿人生活210年，为使人类能不断繁衍，那么地球上最多能养活多少人？9、设每1亿人，每年消耗资源为1份那么110亿人90年消耗资源：110×90=9900份90亿人210年消耗资源为：90×210=18900份每年新生资源：（18900-9900）/（210-90）=75份为使人类能够不断繁衍，那么每年消耗的资源数量不能超过再生的资源数量所以地球最多能养活75亿人10、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？:设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草（20＋10）×5＝150（份）。由150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。11、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）11、把每只猴吃一周的野果数量视为1份23只猴9周吃掉23×9=207份21只猴12周吃掉21×12=252份那么12周与9周时间相差的252-207=45份就是12-9=5周新长的则每周新长（252-207）÷（12-9）=15份原来一开始吃之前已经有207-15×9=72份把33只猴分成2批,一批每周去吃新长出来的,一批去吃原来就有的72份,当把原有的72份都吃光的同时刚好另一批把新长的也吃光.72÷（33-15）=4周吃光12、有一池泉水,泉底不断涌出泉水,且每小时涌出的泉水一样多,如果用10部抽水机,20小时能把全池泉水抽干,如果用15部抽水机10小时能把全池泉水抽干,那么用30部抽水机几小时能把泉池泉水抽干?典型的牛吃草问题,1：泉水涌出速度=（10×20-15×10）÷（20-10）=52：原有水量=10×20-5×20=1003：抽水天数=100÷（35-5）=4小时13、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。60÷（7-2）=12（分钟）。14、某火车站检票前开始排队,假若前来排队检票的人数均匀增加.若开5个检票口,需要30分钟可以检完；若开6个检票口,需要20分钟可以检完；问要10分钟进完，需要开多少个检票口？15、现欲将一池塘水全部抽干,但同时有水匀速流入池塘.若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干.问：若要5天抽干水,需多少台同样的抽水机来抽水?16、一只船发现漏水时,已经进了一些水,现在水匀速进入船内,如果10人淘水,3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完.如果要求2小时淘完,要安排多少人16、解：设一人一小时淘出的水量定为1,3小时的总水量10×3=308小时的总水量5×8=40每小时的进水量（40-30）÷（8-3）=22小时的总水量30-2=28需要的人数28÷2÷1=14（人）故2小时淘完,要安排14人17、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？:设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的