【最新】北师大版七年级数学下册第四章《认识三角形》导学案

第1页新北师大版七年级数学下册第四章《认识三角形》导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、理解三角形的概念2、掌握三角形的三边关系3、掌握并应用三角形的内角和4、掌握三角形的主要线段：三角形的高、中线、角平分线5、理解三角形的分类【重点难点】1、三角形的三边关系2、三角形的内角和3、三角形的主要线段：三角形的高、中线、角平分线4、三角形的分类知识概览图新课导引观察身边的各种图形，如手中的三角尺等，你还能举出三角形的例子吗?【问题探究】观察身边的这些三角形，你能发现这些三角形有什么特征吗?【解析】它们的特征：①三条线段，②不在同一直线上，③首尾顺次相接．教材精华知识点1三角形的概念三角形三角形的有关概念：顶点、边、角及表示法三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边三角形的内角和：三角形的内角和等于180°三角形的主要线段：三角形的高、中线、角平分线三角形的分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形第2页三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．【知识拓展】(1)组成三角形的线段叫三角形的边．(2)相邻两边的公共点叫三角形的顶点．(3)相邻两边组成的角叫三角形的内角(简称三角形的角)．三角形的表示．“三角形”可用符号“Δ”表示．如图5—1所示，顶点为A，B，C的三角形，记作“ΔABC”，ΔABC的三边也可以用小写字母a，b，c表示，一般情形下，顶点A所对的边BC用a表示，边AC用b表示，边AB用c表示．知识点2三角形的三边关系三角形三边之间有如下关系：①三角形两边之和大于第三边．②三角形两边之差小于第三边．如图5—2所示，AB+ACBC，AB-AC＜BC．【知识拓展】(1)三角形两边之和大于第三边可以根据“连接两点的所有线中，线段最短”得出．(2)这里的“两边”泛指三角形的任意两边．(3)三角形两边之差小于第三边，可以根据“两边之和大于第三边”及不等式性质(移项)得到．知识点3三角形的内角和三角形三个内角的和等于180°．这是同学们在小学就已经学习过的，这里并不是简单重复，而是既复习了小学的知识，又使我们对问题的认识得到提高．我们经过本节的学习之后，不再只是通过撕、拼三角形纸片观察得到的直观的认识，而是利用这学期第二章所学的两直线平行的条件、平行线的特征等理论知识，从道理上对三角形的内角和是不是180°进行思考，有理有据地得到理性的认识，这样的认识比仅凭视觉观察得到的结果可靠得三解形的特征①三条线段，②不在同一直线上③首尾顺次相接.第3页多．知识点4三角形按角分类三角形直角三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形把三角形按内角的情况分为三类，是为了研究问题方便、准确，如下表所示．图形特征三个内角都是锐角有一个内角是直角有一个内角是钝角【拓展】如果没有这种三角形的分类，也就没有对直角三角形更深入的研究，不能认识其特殊性质，而直角三角形的应用价值是远远超过锐角三角形与钝角三角形的．在一个三角形中，如果有一个角是钝角(或直角)，这个三角形就是钝角(或直角)三角形，但是在知道三角形的一个角是锐角时，却不能断定它是锐角三角形，因为任何三角形，包括直角三角形和钝角三角形中都是有锐角的．知识点5直角三角形的两个锐角之间的关系直角三角形的两个锐角互余．【知识拓展】直角三角形的这一特殊性质可以由“任何三角形内角的和都等于180°而推导出来．设ΔABC中，∠C＝90°，因为∠A+∠B+∠C=180°，也就是∠A+∠B+90°＝180°，所以∠A+∠B＝90°．这里利用了解方程的手段(移项)．将这个式子用文字加以叙述，就是直角三角形的两个锐角互余．知识点6三角形的三条主要线段三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图5—6所示，如果∠1＝∠2，则AD就是ΔABC的角平分线．第4页三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．如图5—7所示，如果M是BC的中点，则线段AM就是ΔABC的中线．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图5—8所示，AH⊥BC，H为垂足，线段AH就是ΔABC的高线．三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条高或高所在直线也交于一点．【拓展】(1)角平分线是射线，而三角形的角平分线，不论是其中哪个内角的平分线都是线段．(2)任何三角形的角平分线都在三角形内部，高却不同．直角三角形和钝角三角形都有一条高在其内部，另外两条分别在边上和外部．探究交流如图5—4所示，如果∠ACD是ΔABC的外角，那么∠ACD与∠A，∠B的关系是什么样的呢?因为∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，所以∠ACD+∠ACB＝∠A十∠B+∠ACB，由此得到∠ACD=∠A+∠B.不要只想到图5—4所画的情形，还要想到∠ACB是直角(如图5—5所示)或钝角时的情形也一样．课堂检测基本概念题1、如图5-9所示，共有个三角形，其中ΔADE的内角是．第5页基础知识应用题2、在一个三角形中，两条边的长分别为2和7，另一条边的长是奇数，符合这些条件的三角形()A．不存在B．只有一个C．只有两个D．有三个3、如图5-10所示，已知∠A=32°，∠ADC=110°，BE⊥AC于E，求∠B的度数．综合应用题4、如图5—11所示，在ΔABC中，AD为角平分线，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F．试说明∠AFE＝21(∠ABC+∠C)．5、周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?体验中考1、已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是()A．4cmB．5cmC．6cmD．13cm2、如图5—15所示，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝25°，∠COD＝80°，则∠C等于()第6页A．65°B．75°C．85°D．105°学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析数三角形个数的方法一般有：①按大小顺序数，②从图中某一条线段开始沿着一定方向去数，③先固定一个顶点变换另两个顶点来数．但要特别注意，既要不重，又要不漏．在三角形中，边所对的是角，角所对的是边．答案：6∠ADE，∠AED，∠DAE【解题策略】数三角形的个数要按同一标准去数，做到不重、不漏．每一个三角形都有3个内角，注意角的表示方法．2、【分析】这是关于三角形三边长的问题，目前只有三边关系可以利用．设另一边的长为x，则有2+7x，x7-2，由此得5x9在这个范围内的奇数只有一个．故选B．【解题策略】上面分析中的2+7x．和x7-2是由“三角形任意两边之和大于第三边”和“三角形任意两边之差小于第三边”得出的．3、【分析】由于∠B是ΔBCE的内角，且ΔBCE是直角三角形，只要求出∠C的度数就可求得∠B的度数．从题目已知条件来看，∠A与∠ADC的度数已知，它们都是ΔACD中的角，利用三角形的内角和为180°，可求出∠C的度数．第7页解：因为∠C+∠A+∠ADC＝180°，所以∠C＝180°-∠A-∠ADC＝180°-32°-110°＝38°．由ΔBCE是直角三角形和直角三角形的两个锐角互余，得∠B＝90°-38°＝52°．【解题策略】解此题的关键是利用三角形内角和求出∠C，再利用直角三角形两锐角互余关系求出∠B．4、【分析】本题应用角平分线、垂线、直角三角形两锐角互余等知识进行解答．解：因为BE⊥AC，所以∠AFE+∠2＝90°，所以∠AFE＝90°–∠2．因为AD平分∠BAC；所以∠1＝∠2，∠2＝21∠BAC，又因为∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，所以90°＝21(∠BAC+∠ABC+∠C)，所以∠AFE＝21(∠BAC+∠ABC+∠C)-21∠BAC＝21(∠ABC+∠C)，即∠AFE＝21(∠ABC+∠C)．【解题策略】此题考查角平分线、直角三角形等知识的综合运用．5、【分析】为了缩小范围，先确定最长边，由条件及三角形的三边关系可以确定最长边的取值范围，因此可确定最长边的整数值．解：不妨设三角形的三边长分别为a，b，c，且abc，则有a+b+c＝24．又知a+bc,a+b＝24-cc，因此c12．又因为a+b+c3c，即3c24．故c8，所以8c12．因为c为整数，所以c＝9，10，11．当c＝9时，a+b＝15，a＝7，b＝8．当c＝10时，a+b＝14，a＝5，b＝9或a＝6，b＝8．当c＝11时，a+b＝13，a＝3，b＝10或a＝4，b＝9或a＝5，b＝8或a＝6，b＝7．综上所述，满足条件的三角形共有7个．第8页体验中考1、【分析】设第三边长为x，则由三角形三边关系可得8-3x8+3，即5x11．故选C.2、【分析】因为AB∥CD，所以∠D＝∠A＝25°，又因为∠COD＝80°，所以根据三角形内角和定理得∠C＝180°-∠COD-∠D＝180°-80°-25°＝75°．故选B4.2图形的全等学习目标、重点、难点【学习目标】理解全等图形的定义和性质；【重点难点】全等图形的定义和性质知识概览图全等图形重合的角相等重合的边相等大小相等形状相同性质叫全等图形形能够完全重合的两个图定义，：新课导引观察五星红旗上面的四个小五角星．【问题探究】通过观察，我们发现这四个小五角星的形状和大小都相同，那么这样的图形称为什么图形呢?【解析】能够完全重合(形状，大小都相同)的两个图形称为全等图形．第9页教材精华知识点1全等图形的定义能够完全重合的两个图形称为全等图形．这个定义告诉我们，两个图形只要能够完全重合就是全等图形．不论是经过旋转，还是翻折后才能重合，都是可以的．“重合”的含义自然是完完全全的重合．一个图形与另一个图形的局部(哪怕占百分之九十九)重合，也不能说这两个图形是完全重合的．【拓展】全等图形，关注的是两个图形的形状和大小，而不关心图形所在的位置．知识点2全等图形的性质全等图形的形状和大小都相同．两个图形如果能够重合，它们的形状与大小自然都是相同的，所以说，全等图形的性质是由它的定义直接得出的．对于两个全等的封闭图形，如三角形、正方形、圆等，它们的面积是相同的．全等图形的性质中所说的“大小相同”包含了这层含义，同时也包含了重合的线段的长短相同、角的度数相同等含义．【拓展】全等的两个图形，形状和大小是相司的，而且面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形．课堂检测基本概念题1、如图5—26所示，给出五对图形：第10页其中是全等图形的共有()A．1对D．2对C．3对D．4对基础知识应用题2、如图5—27所示，判断各组中的两个图形是不是全等图形．综合应用题第11页3、如图5—28(1)所示，做四个全等的小“L”型纸片，将它们拼成一个与大“L”型全等的图案．探索与创新题4、(1)画一个长方形，然后从上面“割”下一部分“补”到另一位置(拼接)，改变长方形的形状，绘制成你喜欢的图案；(2)把你在(1)中得到的图案复制n个，进行再次拼接，得到一个比较大的图案，并且为你的图案命名．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测第12页1、【分析】考虑五对图形中，哪几对图形不仅形状相同，而且大小相等．(2)中的两个图形，不仅形状相同而且大小相等，所以它们是两个全等的图形；(4)中的两个图形，它们的形状相同，大小也相等，故它们也是全等的．而在(1)中的两个图形虽然形状相同，但大小不相等，故这两个图形不全等；在(3)，(5)这两对图形中，由于其形状不相同，故不是全等图形．因此，它们均不是全等图形．综上所述，在五对图形中有两对图形全等．故选B．【解题策略】在判断两个图形是否全等时，只有当它们的形状和大小均相同时才全等．也就是说，当两个图形形状不同时，它们不全等；同样，当两个图形的大小不相等时，它们也不全等．2、【分析】此题利用定义判断不太方便(把图形剪下，纸的透明度不大好也会给观察造成困难)，我们可以从每组图形的形状与大小是否都相同来进行