2016年复旦附中自主招生试卷

2016复旦附中创新拔尖人才培养选拔校园日一.填空题1.已知abcxbcacab，则x________.【答】12或1【解析】由题意2abcxbacxabcabcxcabx若0abc，则1aaxbca，若0abc，则12x.综上12x或1.2.已知函数225323yxaxbxb≤≤图像关于y轴对称，则ab________.【答】4【解析】由题意二次函数对称轴0x，定义域关于原点对称50230abb，514ab.3.已知函数2221ykxkxk的图像与x轴只有一个交点，则k__________.【答】2【解析】若原函数不为二次函数，则2k43yx与x轴只有一个交点成立；若原函数为二次函数，则244210202kkkkk△综上2k4.在同一个直角坐标系中，已知直线ykx与函数283233243xxyxxx，≥，，≤图像恰好有三个公共点，则k的取值范围是__________.【答】223k【解析】原函数图像大致如图，当0k，ykx过二四象限不满足题意，显然0k，当ykx过32，则23k，恰有两交点，当2k，三条直线平行，于是223k.5.如图，在梯形ABCD中，ABCD∥CDAB，，设EF、分别是ACBD、的中点，AC与BD交于点O，已知OEF△是边长为1的正三角形，BOC△的面积为1534，则梯形ABCD的面积为__________.【答】163【解析】设BOa，则2ODOCa，由AOBODC△、△均为正三角形，则22sin12015233242116416163sin604222ABCDaaaaSSa6.已知矩形ABCD中，1ABBCa，，若在边BC上存在点Q，满足AQQD，则a的取值范围是__________.【答】2a≥【解析】以AD中点为圆心2a为半径作圆应与BC有交点，122aa≥≥7.已知锐角ABC△的三边长恰为三个连续正整数，ABBCCA，若BC边上的高为AD，则BDDC__________.【答】4【解析】设ABBCCA，，分别为11nnn，，，则222222114nnBDDCABACBDDCBDDCBCn8.已知实数mn，（其中1mn）分别满足：2219991099190mmnn，，则41mnmn_____________.【答】5【解析】由2199919190mm19mn、均为299190xx的解，EFBODCACABDDBCA若它们为不同解，则1919mn矛盾19mn原式21941199919551919mmmmmmmm9.若关于x的方程2240xxxm有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围是___________.【答】34m≤【解析】显然2x是原方程的根，设另两个根分别为ab、，42ab，0△≥，2ab∣∣且0m，216441640mabm△≥34m≤10.如图，矩形ABCD中，34ABBC，，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点'B处，当'CEB△为直角三角形时，BE的长为__________.【答】32或3【解析】设BEx，过'B作'BHBC于H，1'90BEC，45AEB，3xAB，2'90BCE，'B在CD上，H与C重合，由'BBAE，2222''23333xBBBBBHxx，22184291809xBHxxx无解3'90EBC，则'CBA、、共线，AE为BAC角平分线，33452xxx综上32BE或311.如图，OAOD，是O⊙的半径，延长OA至B，使OAABC，是OA的中点，AOD为锐角，连接CDBD，，且CDa，则_________.BD【答】2a【解析】设1OC，则42OBODOA，，2OCOBODOCDODB△∽△，相似比1:222BDCDa12.已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是_________个.EB'BCDACBAODHEB'BCDA【答】2【解析】设直角三角形三边分别为abc，2222abcababc有222222cabbcb222227abbbbbb7a，而2205ababcbba≥，若5a，252511312cbcbcbcbcb，，代入两式验证成立；若6a，36182108cbcbcbcbcb，，代入两式验证成立；综上6810abc，，，，或51213，，，满足条件的三角形有2个.13.设10nn≥个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为__________.【答】5【解析】首先有五架飞机在O降落是可以构造的，只需O为正五边形ABCDE的中心，其他飞机场在较远处即可。其次证明不可能有六架飞机在O降落，如图，对于任意一个飞机场O考虑它60夹角方向，若区域内有AB、两飞机场，则60AOB≤，若AB、同时飞往O，则AOABBOAB，，AB为AOB△最大边，AOB为AOB△最大角矛盾；于是对于飞机场O，在夹角为60的区域内最多有一架飞机。若存在六架ABCDEF、、、、、飞机飞到点O，以OA为边界将点O的周角6等分，则形成如图五块区域，每块区域内最多一架飞机，与六架飞机飞刀点O矛盾。二.解答题14.关于x的方程222120xmxmm的两个根分别为12.xx，1若125xx∣∣，求m的值；2若12xx，均为整数，求m的值.【答】131122022mm，，，，【解析】1222521424811mmmmmm；2由1221xxm2m为整数设为k,222221421225222kkkkkkk△为完全平方数，4310k，，，，验证成立，于是312022m，，，.60°OAB60°543211OA15.如图，ABC△中，56ABBCAC，，过点A作ADBC∥，点PQ，分别是射线AD、线段BA上的动点，且APBQ，过点P作PEAC∥交线段AQ于点O，联结PQ，记APxPOQ，△面积为.y1求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；2联结QE，若PQE△与POQ△相似，求AP的长.【答】224125102552yxxx，≤25【解析】122225567coscos2525DABB24sin25DAQ，APOOEBBOEAOPAOAPx，5AQx，52AOAQx≤≤sin1252225DAQAQAOAPyxx22412502552yxxx，≤2若PQOPEQ△∽△，则22222POPEPQPHHQPHAQAH2222226247643224652552525525xxxxxx，2256450062504251625016xxxxx或254（舍）.若PQOPQE△∽△则OE、重合，此时5xAO（舍）综上2516AP16.一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层到第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意.现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）【答】316【解析】设电梯在第x层，有y个人不坐电梯，则总分31233312y1122Sxxy22223334+1123322222102+316841021526316448xxyyxyxyxxyyxyyxy于是当276xy，时，S取最小值316.OHEPACBQDOEPACBQD17.设x是实数，不大于x的最大整数叫做x的整数部分，记作x，如1.21331.32，，222111110111111212016201711011111220162017S，求90S;2解关于x的方程：212312.2xxx【答】1922101或271【解析】1222111221211nnnnnnnnnnnn111111111391210132015201891210132015201811111111119121013201520183912101320152018S111111139101120162017201830303030306303030903991120162017201899201620172018S909S2设12xk，22412kk，213kk，23313kkk≤，左边可得1k或2k，右边有231414kkk≤，也即11k或24k，102k，，或3，代入213kk验证得7k或10，271x或2101