高等数学A,B上册期中卷 3

共3页第1页07-08-2(A、B)期中试卷参考答案及评分标准一.填空题（每小题4分，满分24分）1．当n→∞时，111kknn--与1cos(0)aan-是等价无穷小，则3k=，2a=；2．已知21lim01xxaxbx→∞⎛⎞+--=⎜⎟+⎝⎠，则1a=，1b=-；3．函数1()1xfxx-=+带Peano余项的4阶Maclaurin公式是234412222()xxxxox-+-++；4．2221esin2arctan22esindd313xxxxCxxpp--⎛⎞⎛⎞++=⎜⎟⎜⎟+⎝⎠+⎝-+⎠+；5．当某质点沿曲线yx=运动到点0M处时,该质点的x坐标和y坐标关于时间的变化率相等，点0M的坐标为11,42⎛⎞⎜⎟⎝⎠；6．函数21()lnfxxx=的单调增加区间为()21,e，极大值为24e-.二.单项选择题（每题4分，满分12分）7．设对x∀∈R,有()()()hxfxgx≤≤,lim[()()]0xgxhx→∞-=,则lim()xfx→∞[D](A)存在且等于零(B)存在且不等于零(C)一定不存在(D)不一定存在8．极限2141ln1lim2sinxxxxx→-∞⎛⎞+++⎜⎟⎝⎠=-+[B](A)2-(B)2(C)3-(D)39．函数3()sinfxxxx=-的不可导点的个数为[C](A)0(B)1(C)2(D)3三.计算题（每小题8分，满分32分）10．01sincoslimsinln(1)xxxxxx→+-⋅+解()20001sincos(sin)1sinlimlimlim11sinln(1)21sincosxxxxxxxxxxxxxxxxx→→→+-+⎛⎞==+=⎜⎟⋅+⎝⎠++PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion页（4+3+1分）11.设32ln(1)xttytt=-+⎧⎨=+⎩，求22ddyx.解d(32)(1)dyttx=++（3分）22d(65)(1)dyttxt++=（5分）12．设()2()sin2fxxxx=+，求(10)()fx.解()(10)102109()2sin225(21)cos2245sin2fxxxxxxx=-++⋅++⋅（2+3+3分）13.试确定常数a、b的值，使得曲线2yxaxb=++和321yxy=-+在点(1,1)-处相切，并求切线方程.解2ab+=-，（2分）曲线2yxaxb=++点(1,1)-处的切线的斜率为12ka=+，（1分）曲线321yxy=-+点(1,1)-处的切线的斜率为21k=，（1分）由12kk=得1a=-，从而1b=-，（2分）切线方程为2yx=-（2分）四(14).（8分）讨论2333()lim(0)2nnnnxfxxx+→∞=≥+的连续性，并指出间断点的类型（应说明理由）.解52233333230,022()limlim2,22,212nnnnnnnxxxfxxxxxxx+→∞→∞≤⎧⎛⎞⎪⎜⎟⎪⎝⎠====⎨+⎪⎛⎞+⎜⎟⎪⎩⎝⎠（4分）2lim()0xfx-→=，2lim()4xfx+→=，（2分）()fx在[0,2)和(2,)+∞上连续，2x=是()fx的跳跃间断点.（2分）五(15).（8分）设函数()fx在(,)-∞+∞上定义，(0)1f′=,并对任意实数x和h,恒有()()()2fxhfxfhhx+=++,证明()fx在(,)-∞+∞上处处可导,并求()fx′.解在等式()()()2fxhfxfhhx+=++中令0h=，得(0)0f=，（2分）则00()()()(0)limlim221hhfxhfxfhfxxhh→→+--=+=+，（4分）于是()fx在(,)-∞+∞上处处可导，且()21fxx′=+（2分）PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion页六(16).(8分)设1p,1q,且111pq+=，证明：当0x时，11pxxpq+≥.证设11()pfxxxpq=+-，（1分）则1()1pfxx-′=-，令()0fx′=，得唯一的驻点1x=，（3分）且(1)10fp′′=-，1x=是()fx唯一的极小值点，因而是最小值点。（2分）故11()(1)0pfxxxfpq=+-≥=，不等式得证。（2分）七(17)．(8分)设()fx在闭区间[,]ab上具有一阶连续导数，在开区间(,)ab内二阶可导，且()()fafb=，()()0fafb+-′′，试证：至少存在一点(,),abx∈使得()0fx′′=.证若()()fafb+-′′=，由Rolle定理知，(,)abx∃∈，使得()0fx′′=；（2分）若()()fafb+-′′≠，不妨设()0,()0fafb+-′′，且()()fafb+-′′.由于()()fafb=，由Rolle定理知，(,)abh∃∈，使得()0fh′=（2分），再由于[,]()abfxC′∈，且()()()ffafbh+-′′′，由介值定理知，(,)cbh∃∈，使得()()fafc+′′=，（2分）再由Rolle定理知，(,)(,)acabx∃∈⊂，使得()0fx′′=.（2分）PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion