2012届高三数学理科摸底试题参考答案和评分标准

第1页2012届高三数学摸底试题（理）答案一、选择题：DABDBCDA二、填空题：9.|32xx,10.16,11.10,12.②③④.13.2314.(－∞，0)三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.(本小题满分12分)已知函数2()23cos2sincos3fxxxx,(1)求函数的最小正周期及最小值；(2)求函数()fx的单调递增区间；解:(1)∵f(x)=23cos2x-2sinxcosx-3=3(cos2x+1)-sin2x-3………2分=2cos(2x+6)…4分最小正周期为………6分当22()62xkkZ时，即()6xkkZ函数有最小值2………8分（2）2226kxk………10分7,1212kxkkZ………12分函数()fx的单调递增区间为7[,],1212kkkZ………12分16.(本小题满分12分)解：(1)周销售量为2千件,3千件和4千件的频率分别为0.2,0.5和0.3.……….3分(2)的可能值为8,10,12,14,16,且…………………………………………….5分P（=8）=0.22=0.04,P（=10）=2×0.2×0.5=0.2,P（=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37,P（=14）=2×0.5×0.3=0.3,P（=16）=0.32=0.09.的分布列为810121416P0.040.20.370.30.09E=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）…………….12分…………………9分第2页17．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，11,2ACBCCC，点D、E分别是1AA、1CC的中点.（1）求证：//AE平面1BCD；（2）证明：平面1BCD平面BCD（3）求CD与平面1BCD所成角的正切值；（1）证明：在矩形11ACCA中，由11//,CEADCEAD得1AECD是平行四边形。所以1//AEDC，…………………2分又AE平面1BCD，1CD平面1BCD，所以//AE平面1BCD…………………3分（2）证明：直三棱柱111ABCABC中，1BCCC，ACBC，1CCACC，所以BC平面11ACCA，而1CD平面11ACCA，所以BC1CD。…………………6分在矩形11ACCA中，112,2DCDCCC，从而22211DCDCCC，所以1CDDC，…………………8分又DCBCC，所以1CD平面BCD，…………………9分而1CD平面1BCD，所以平面1BCD平面BCD…………………10分（3）由（2）可知平面1BCD平面BCD，所以，斜线CD在平面1BCD的射影在BD上，BDC为所求…………………12分又由（2）可知，所以BC平面11ACCA，所以，BCCDA1B1DABCE图5C1第3页所以，三角形BCD是直角三角形，1,2BCCD所以所求值为22……14分另解：以1C为原点，11CD，11CB,1CC为x,y，z轴建立直角坐标系则(0,0,2)C,(1,0,1)D,1(0,0,0)C,(0,1,2)B则(1,0,1)DC设平面1BCD的法向量为(,,1)nxy由10,nCD得10x由10nBC得20y由以上两式解得1,2xy(1,2,1)n…………………………12分设n与DC夹角的为，则222222(1,2,1)(1,0,1)cos(1)(2)1(1)01nDCnDC13，所以，所以所求值为22……………………………………14分18.(本小题满分14分)某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x元/本（9≤x≤11），预计一年的销售量为2)20(x万本．（Ⅰ）求该出版社一年的利润L（万元）与每本书的定价x的函数关系式；（Ⅱ）当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L最大，并求出L的最大值)(mR解：（Ⅰ）该出版社一年的利润L（万元）与每本书定价x的函数关系式为：]11,9[,)20)(5(2xxmxL．……………………4分（定义域不写扣1分）（Ⅱ）)20)(5(2)20()(2/xmxxxL)3230)(20(xmx．…………………………6分令0L得mx3210或x=20（不合题意，舍去）．…………7分31m，123210332m．在mx3210两侧L的值由正变负．所以（1）当113210332m即231m时，3max)35(4)]3210(20)[53210()3210(mmmmmLL．……9分（2）当12321011m即323m时，)6(81)1120)(511()11(2maxmmLL，…………………………11分第4页所以323),6(81231,)35(4)(3mmmmmR答：若231m，则当每本书定价为m3210元时，出版社一年的利润L最大，最大值3)35(4)(mmR（万元）；若323m，则当每本书定价为11元时，出版社一年的利润L最大，最大值)6(81)(mmR（万元）．…………………………14分19．(本小题满分14分)已知椭圆22221(0)xyabab的一个焦点F与抛物线24yx的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为2，倾斜角为45的直线l过点F.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为1F，问抛物线xy42上是否存在一点M，使得M与1F关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由.解：（1）抛物线xy42的焦点为)0,1(F，准线方程为1x，…………………2分∴122ba①…………………3分又椭圆截抛物线的准线1x所得弦长为2，∴得上交点为)22,1(，∴121122ba②…………………4分由①代入②得01224bb，解得12b或212b（舍去），从而2122ba…………………6分∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为22121xy…………………7分（2）∵倾斜角为45的直线l过点F，∴直线l的方程为)1(45tanxy，即1xy，…………………8分由（1）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1F，设),(00yxM与1F关于直线l对称，第5页…………………9分则得12)1(2011100000xyxy…………………10分解得2100yx，即)2,1(M…………………11分又)2,1(M满足xy42，故点M在抛物线上。…………………13分所以抛物线xy42上存在一点)2,1(M，使得M与1F关于直线l对称。……14分20．(本小题满分14分)已知数列{}na,122aa,112(2)nnnaaan（Ⅰ）求数列{}na的通项公式na（Ⅱ）当2n时,求证:12111...3naaa（Ⅲ）若函数()fx满足：2*1(1),(1)()().()fafnfnfnnN求证：111.()12nkfk解:112nnnaaa,两边加na得:112()(2)nnnnaaaan,1{}nnaa是以2为公比,124aa为首项的等比数列.114222nnnnaa---------①--------2分由112nnnaaa两边减2na得:112(2)(2)nnnnaaaan1{2}nnaa是以1为公比,2122aa为首项的等比数列.1122(1)2(1)nnnnaa-----------②--------4分①-②得:32[2(1)]nnna所以,所求通项为2[2(1)]3nnna--------6分第6页(2)当n为偶数时,1111111111111311322[]22121222221322322311()(2)22221222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaan212111113111312...(1...)333122222212nnnnaaa--------8分当n为奇数时,2[2(1)]03nnna,1110,0nnaa,又1n为偶数由(1)知,121211111111......3nnnaaaaaaa--------10分（3）证明：2(1)()()0fnfnfn(1)(),(1)()(1)(1)20fnfnfnfnfnf又211111(1)()()()[()1]()()1fnfnfnfnfnfnfn111()1()(1)fnfnfn--------------------------------12分11111111[][][]()1(1)(2)(2)(3)()(1)1111.(1)(1)(1)2nkfkfffffnfnffnf---14分