南通市2011高三第一次调研数学试卷及答案

江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试卷A．必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．1．已知集合M={－1，1}，{|124}xNx≤≤，则MN▲．2．已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）的概率为▲．3．设(12i)34iz（i为虚数单位），则||z▲．4．根据右图的算法，输出的结果是▲．5．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是▲人．6．若“2230xx”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为▲．7．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：（1）若a∥α，a∥β，则α∥β；（2）若a⊥α，a⊥β，则α∥β；（3）若a∥α，b∥α，则a∥b；（4）若a⊥α，b⊥α，则a∥b．上述命题中，所有真命题的序号是▲．8．双曲线221412xy上一点M到它的右焦点的距离是3，则点M的横坐标是▲．9．函数sin3cosfxxxxR，又()2f，0f，且的最小值等于π2，则正数的值为▲．10．若圆C：22()(1)1xhy在不等式10xy≥所表示的平面区域内，则h的最小值为▲．11．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，－1），B（－3，－4）两点，若点C在AOB的平分线上，且10OC，则点C的坐标是▲．12．已知函数3221()(21)13fxxxaxaa，若()0fx在（1，3]上有解，则实数a的取值范围为▲．13．已知21(),()()2xfxxgxm，若对11,3x，20,2x，12()()fxgx≥，则实数m的取0Forfrom1to10EndforPrintEndSISSIS（第4题）值范围是▲．14．已知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a－b|=2．（1）求a·b的值；（2）求|a+b|的值．16．（本题满分14分）如图，已知□ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDF；（2）若90AEB，求证：平面BDF⊥平面BCE．17．（本题满分15分）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数2πsin()3yAx0,0A，4,0x时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）。赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD，且CD//EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．（1）求的值和DOE的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且POE，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．（第16题）18．（本题满分15分）如图，已知椭圆22:11612xyC的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．19．（本题满分16分）设()fx是定义在[1,1]上的奇函数，函数()gx与()fx的图象关于y轴对称，且当(0,1]x时，2()lngxxax．（1）求函数()fx的解析式；（2）若对于区间0,1上任意的x，都有|()|1fx成立，求实数a的取值范围．20．（本题满分16分）已知数列na为各项均为正的等比数列，其公比为q．（1）当q＝32时，在数列na中：①最多有几项在1～100之间？②最多有几项是1～100之间的整数？（2）当q＞1时，在数列na中，最多有几项是100～1000之间的整数？（参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）．（第18题）B．附加题部分21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题。每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4－1：几何证明选讲锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60，∠BAC=40，作OE⊥AB交劣弧AB于点E，连接EC，求∠OEC．B．选修4－2：矩阵与变换曲线1:C2221xy在矩阵1201M的作用下变换为曲线2C，求2C的方程．C．选修4－4：坐标系与参数方程P为曲线1C：1cossinxy（为参数）上一点，求它到直线2C：122xty（t为参数）距离的最小值．D．选修4－5：不等式选讲设*nN，求证：12(21)nnnnnCCCn≤．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．用数学归纳法证明：*(1)(2)(3)123234(1)(2)()4nnnnnnnnN．23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8∶00，8∶20，8∶40这三个时刻随机发出，且在8∶00发出的概率为14，8∶20发出的概率为12，8∶40发出的概率为14；第二班客车在9∶00，9∶20，9∶40这三个时刻随机发出，且在9∶00发出的概率为14，9∶20发出的概率为12，9∶40发出的概率为14．两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8∶10到站．求：（1）请预测旅客乘到第一班客车的概率；（2）旅客候车时间的分布列；（第21-A题）（3）旅客候车时间的数学期望．南通市2011届高三第一次调研测试数学参考答案A．必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{1}2．0.23．5z4．555．6906．17．（2），（4）8．529．110．2211．1,3C12．71a≤13．14m≥14．2二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本题满分14分）解：（1）由|a－b|=2，得|a－b|2a22a·bb2412a·b4，∴a·b12．……………7分（2）|a+b|2a22a·bb2142162，∴|a+b|6．………………………14分16．（本题满分14分）证明：（1）设AC∩BD＝G，连接FG．由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．又∵F是EC中点，∴在△ACE中，FG∥AE．……………………………………………3分∵AE平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD；……………………………6分（2）∵π2AEB，∴AEBE．又∵直线BC⊥平面ABE，∴AEBC．又BCBEB，∴直线AE平面BCE．…………………………………………8分由（1）知，FG∥AE，∴直线FG平面BCE．………………………………………10分又直线FG平面DBF，∴平面DBF⊥平面BCE．………………………………………14分17．（本题满分15分）解：（1）由条件，得2A，34T．……………………………………………………………2分∵2πT，∴π6．……………………………………………………………………4分∴曲线段FBC的解析式为π2π2sin()63yx．当x=0时，3yOC．又CD=3，∴ππ44CODDOE，即．……………7分（2）由（1），可知6OD．又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故6OP．……………8分设POE，π04≤，“矩形草坪”的面积为26sin6cos6sin6sincossinS=111π6(sin2cos2)32sin(2)32224．…………………………………13分∵π04≤，故πππ2=428S当时，时，取得最大值．………………………15分18．（本题满分15分）解：（1）由已知，(4,0),(4,0),(2,0)ABF，直线8lx的方程为．设N（8，t）（t0），因为AM=MN，所以M（4，2t）．由M在椭圆上，得t=6．故所求的点M的坐标为M（4，3）．………………………4分所以(6,3),(2,3)MAMB，1293MAMB．365cos65||||36949MAMBAMBMAMB．……………………………………7分（用余弦定理也可求得）（2）设圆的方程为220xyDxEyF，将A，F，N三点坐标代入，得22,1640,72420,,6480,8.DDFDFEtttDEtFF∵圆方程为22722()80xyxtyt，令0x，得272()80ytyt．…11分设12(0,),(0,)PyQy，则2127272(322tttty、）．由线段PQ的中点坐标为（0，9），得1218yy，7218tt．此时所求圆的方程为2221880xyxy．………………………………………15分（本题用韦达定理也可解）（2）（法二）由圆过点A、F得圆心横坐标为－1，由圆与y轴交点的纵坐标为（0，9），得圆心的纵坐标为9，故圆心坐标为（－1，9）．……………………………………11分易求得圆的半径为310，………………………………………………………………13分所以，所求圆的方程为221)(9)90xy（．………………………………………15分19．（本题满分16分）解：（1）∵()gx的图象与()fx的图象关于y轴对称，∴()fx的图象上任意一点(,)Pxy关于y轴对称的对称点(,)Qxy在()gx的图象上．当[1,0)x时，(0,1]x，则2()()ln()fxgxxax．………………………2分∵()fx为[1,1]上的奇函数，则(0)0f．…………………………………………4分当(0,1]x时，[1,0)x，2()()lnfxfxxax．…………………………6分∴22ln()(10),()0(0),ln(01).xaxxfxxxaxx≤≤…………………………………………………7分（1）由已知，1()2fxaxx．①若()0fx≤在0,1恒成立，则211202axaxx≤≤．此时，12a≤，()fx在(0,1]上单调递减，min()(1)fxfa，∴()fx的值域为[,)a与|()|1fx矛盾．……………………………………11分②当12a时，令11()20(0,1]2fxaxxxa，∴当1(0,)2xa时，()0fx，()fx单调递减，当1(,1]2xa时，()0fx，()fx单调递增，∴2min11111()()ln()()ln(2)22222fxfaaaaa．由|()|1fx≥，得11eln(2)1222aa≥≥．……………………………………15分综上所述，实数a的取值范围为e2a≥．……………………………………………16分20．（本题满分16分）解：（1）①不妨设1a≥1，设数列na有n项在1和100之间，则113()2na≤100．所以，13()2n≤100．两边同取对数，得（n－1）（lg3－lg2）≤