考前过关训练(二)

考前过关训练(二)证明不等式的基本方法(35分钟60分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知m≠n,若x=m4-m3n,y=mn3-n4,则x,y的大小关系为()A.xyB.x=yC.xyD.与m,n的取值有关【解析】选A.x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)=(m-n)2,因为m≠n,所以x-y0,即xy.2.求证:--.证明:欲证--,只需证+2,只需证(+)2(2)2,只需证10+220,只需证5,只需证2125,这显然成立.所以--.上述证明过程应用了()A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法【解析】选B.根据分析法的特点可知,上述证明过程是分析法.3.若1x10,下面不等式中正确的是()A.(lgx)2lgx2lg(lgx)B.lgx2(lgx)2lg(lgx)C.(lgx)2lg(lgx)lgx2D.lg(lgx)(lgx)2lgx2【解析】选D.因为1x10,所以0lgx1,0(lgx)21,0lgx22,lg(lgx)0.又(lgx)2-lgx2=(lgx)2-2lgx=lgx(lgx-2)0,所以(lgx)2lgx2.所以lg(lgx)(lgx)2lgx2.【一题多解】选D.因为1x10,所以0lgx1,lg(lgx)0,结合选项知A,B,C错误.4.若a,b,c为△ABC的三条边,S=a2+b2+c2,p=ab+bc+ac,则()A.S≥2pB.pS2pC.SpD.p≤S2p【解析】选D.S-p=a2+b2+c2-(ab+bc+ac)=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0,所以S≥p.又因为|a-b|c,|b-c|a,|a-c|b;所以a2-2ab+b2c2,b2-2bc+c2a2,a2-2ac+c2b2.所以a2+b2+c22(ab+bc+ac),所以S2p.5.已知x,y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则M与N的大小关系是()A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定【解析】选A.M-N=x2+y2+1-(x+y+xy)=[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)]=[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0.故M≥N.6.(2016·合肥高二检测)已知a,b,c是△ABC的三边长,A=+,B=,则()A.ABB.ABC.A≥BD.A≤B【解析】选A.因为a,b,c是△ABC的三边长,所以ca+b,所以B====++=A,所以BA.【补偿训练】设a,b,x,y均为正数,且a,b为常数,x,y为变量,若x+y=1,则+的最大值为()A.B.C.D.【解析】选C.本题可利用换元的方法处理:由x+y=1且x0,y0,可设x=sin2α,y=cos2α,故+=sinα+cosα=sin(α+φ)≤.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2016·沈阳高二检测)设α,β为锐角,P=sin(α+β),Q=sinα+sinβ,则P与Q的大小关系为________.【解析】因为α,β为锐角,P-Q=sin(α+β)-(sinα+sinβ)=sinα(cosβ-1)+sinβ(cosα-1)0,所以PQ.答案:PQ8.(2016·郑州高二检测)A=1+++…+与(n∈N+)的大小关系是________.【解析】A=+++…+≥==.答案:A≥9.若a,b∈R+,且a≠b,M=+,N=+,则M,N的大小关系为________.【解析】因为a≠b,所以+2,+2,所以+++2+2.所以++.即MN.答案:MN三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知0a1,求证:+≥9.【证明】因为(3a-1)2≥0,所以9a2-6a+1≥0.所以1+3a≥9a(1-a).因为0a1,所以≥9,即≥9,所以+≥9.11.已知a2+b2=1,x2+y2=1,试用分析法证明:ax+by≤1.【证明】要证ax+by≤1成立,只需证1-(ax+by)≥0,只需证2-2ax-2by≥0,因为a2+b2=1,x2+y2=1,只需证a2+b2+x2+y2-2ax-2by≥0,即证(a-x)2+(b-y)2≥0,显然成立.所以ax+by≤1.12.设数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=nan-2n(n-1).等比数列{bn}的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设数列的前n项和为Mn,求证:≤Mn.【解析】(1)因为等比数列{bn}的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5,所以b4+b5=2b5,所以b4=b5,所以公比a1==1,故等比数列{bn}是常数数列.数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=nan-2n(n-1),当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-2n(n-1)-[(n-1)an-1-2(n-1)(n-2)],所以an-an-1=4(n≥2),所以数列{an}是以1为首项,以4为公差的等差数列,an=4n-3.(2)因为数列的前n项和为Mn,===,所以Mn==.再由数列{Mn}是增数列,所以Mn≥M1=.综上可得,≤Mn.