2016西城区高三理科数学期末试题及答案

北京市西城区2015—2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}Axx，集合{2}Ba，若AB，则实数a的取值范围是（）（A）(,1]（B）(,1]（C）[1,)（D）[1,)2.下列函数中，值域为R的偶函数是（）（A）21yx（B）eexxy（C）lg||yx（D）2yx3.设命题p：“若1sin2，则π6”，命题q：“若ab，则11ab”，则（）（A）“pq”为真命题（B）“pq”为假命题（C）“q”为假命题（D）以上都不对4.在数列{}na中，“对任意的*nN，212nnnaaa”是“数列{}na为等比数列”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）1623（B）1625（C）2023（D）2025侧(左)视图正(主)视图俯视图2211开始4x输出y结束否是输入xy=12○16.设x，y满足约束条件1,3,,xyymyx≤≤≥若3zxy的最大值与最小值的差为7，则实数m（）（A）32（B）32（C）14（D）147.某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中○1处应填（）（A）12[]42yx（B）12[]52yx（C）12[]42yx（D）12[]52yx8.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且2DEAE，2CFBF.如果对于常数，在正方形ABCD的四条边上，有且只有6个不同的点P使得=PEPF成立，那么的取值范围是（）（A）(0,7)（B）(4,7)（C）(0,4)（D）(5,16)第Ⅱ卷（非选择题共110分）EFDPCABBOCANM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知复数z满足(1i)24iz，那么z____.10．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若AB，3a，2c，则cosC____.11．双曲线C：221164xy的渐近线方程为_____；设12,FF为双曲线C的左、右焦点，P为C上一点，且1||4PF，则2||PF____.12．如图，在ABC中，90ABC，3AB，4BC，点O为BC的中点，以BC为直径的半圆与AC，AO分别相交于点M，N，则AN____；AMMC____.13.现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14.某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：C）满足函数关系60,264,,0.kxxtx≤且该食品在4C的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论：○1该食品在6C的保鲜时间是8小时；○2当[6,6]x时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；○3到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；○4到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数3()cos(sin3cos)2fxxxx，xR.（Ⅰ）求()fx的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0，若函数()()gxfx为奇函数，求的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分.两人4局的得分情况如下：甲6699乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7xy，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，135BCD，侧面PAB底面ABCD，90BAP,2ABACPA,,EF分别为,BCAD的中点，点M在线段PD上.（Ⅰ）求证：EF平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：//ME平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）FCADPMBE已知函数2()1fxx，函数()2lngxtx，其中1t≤．（Ⅰ）如果函数()fx与()gx在1x处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；（Ⅱ）如果曲线()yfx与()ygx有且仅有一个公共点，求t的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:)0(12222babyax的离心率为23，点3(1,)2A在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点1P，2P（两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP，2OP的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()nn≥的任意一个排列A：12,,,naaa中，如果对于,,ijijN，有ijaa，那么就称(,)ijaa为一个逆序对.记排列A中逆序对的个数为()SA.如=4n时，在排列B：3,2,4,1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4SB.（Ⅰ）设排列C：3,5,6,4,1,2，写出()SC的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n的一切排列A，求所有()SA的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A：12,,,naaa中两个数字,()ijaaij交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A：12,,,nbbb，求证：()()SASA为奇数.北京市西城区2015—2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A2．C3．B4．B5．B6．C7．D8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i10．7911．12yx1212．13291613．5414．○1○4注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos(sin3cos)2fxxxx23sincos(2cos1)2xxx13sin2cos222xx………………4分πsin(2)3x，………………6分所以函数()fx的最小正周期2π=π2T.………………7分由ππππ2π+23222xkk≤≤，kZ，得5ππππ+1212xkk≤≤，所以函数()fx的单调递增区间为5ππππ+]1212[kk,，kZ.………………9分（注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(kk,，kZ.）（Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3gxfxx，因为函数()gx为奇函数，且xR，所以(0)0g，即πsin(2)03，………………11分所以π2π3k，kZ，解得ππ26k，kZ，验证知其符合题意.又因为0，所以的最小值为π3.………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A，………………1分由题意，得2421()C3PA，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13.……4分（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为13，15，16，18，………………5分且3(13)8PX，1(15)8PX，3(16)8PX，1(18)8PX，………………7分所以X的分布列为：X13151618P38183818………………8分所以3131()13151618158888EX.………………10分（Ⅲ）解：x的可能取值为6，7，8.………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为ABAC，135BCD，所以ABAC.由,EF分别为,BCAD的中点，得//EFAB，所以EFAC.………………1分因为侧面PAB底面ABCD，且90BAP，所以PA底面ABCD.………………2分又因为EF底面ABCD，所以PAEF.………………3分又因为PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以EF平面PAC.………………4分（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以//MFPA，又因为MF平面PAB，PA平面PAB，FADPMz所以//MF平面PAB.………………5分同理，得//EF平面PAB.又因为=MFEFF，MF平面MEF，EF平面MEF，所以平面//MEF平面PAB.………………7分又因为ME平面MEF，所以//ME平面PAB.………………9分（Ⅲ）解：因为PA底面ABCD，ABAC，所以,,APABAC两两垂直，故以,,ABACAP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)ABCPDE，所以(2,0,2)PB，(2,2,2)PD，(2,2,0)BC，………………10分设([0,1])PMPD，则(2,2,2)PM，所以(2,2,22)M，(12,12,22)ME，易得平面ABCD的法向量(0,0,1)m.………………11分设平面PBC的法向量为(,,)xyzn，由0BCn，0PBn，得220,220,xyxz令1x,得(1,1,1)n.………………12分因为直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，所以|cos,||cos,|MEMEmn，即||||||||||||MEMEMEMEmnmn，………………13分所以2|22|||3，解得332，或332（舍）.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2fxx，2()tgxx，(0)x．………………2分由题意，得切线l的斜率(1)(1)kfg，即22kt，解得1t．……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l的方程为220xy．………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12lnhxfxgxxtx，(0,)x．………………5分“曲线()yfx与()ygx有且仅有一个公共点”等价于“函数()yhx有且仅有一个零点”．求导，得2222()2txthxxxx.………………6分①当0t≤时，由(0,)x，得()0hx，所以()hx在(0,)单调递增．又因为(1)0h，所以()yhx有且仅有一个零点1，符合题意．