2012年高三数学期末模拟卷及答案详解

江苏省梁丰高级中学2012届高三数学第一学期期末考全真模拟卷（必做题）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应的位置上．．．．．．．1．若复数3(,12aiaRii为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为▲.2．已知集合22{|30},{|2,[2,1]}AxxxByyxx，则AB▲.3．已知函数()sin()(0,||)2fxAx的部分图象如图，则=▲.4．如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分后，则剩下数据的方差2s▲．（参考公式：2211()niisxxn）5．已知直线,ml，平面,，且,ml.下列命题中，其中正确命题的个数是▲.①若//，则ml；②若，则//ml；③若ml，则//；④若//ml，则.6．与双曲线1422yx有相同的焦点，且过点(4,3)P的双曲线的标准方程是▲.7．已知11tan,tan()23，,均为锐角，则等于▲.8．程序框图如下，若恰好经过．．．．6次．循环输出结果，则a=▲．9.在ABC中，3,1,ABACD为BC的中点，则ADBC▲.10．先后抛掷两枚质地均匀的骰子（各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），若骰子朝上的面的点数记为,ab，则事件||2ab的概率为▲．11．已知两圆222(1)(1)xyr和222(2)(2)xyR相交于,PQ两点，若点P坐标为(1,2)，则点Q的坐标为▲．Y结束开始0,1Ti(1)iTTaaaZ且输出T200TN1ii12.数列na中,111,()211nnnnaaanNnna，则数列na的前2012项的和为▲.13．点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则ANAM的最大值是▲.14.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线24()13fxx的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点,MN，交曲线于点P，则OMN（O为坐标原点）的面积的最小值为▲.二.解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知(2cos,3sin)mAA，(cos,2cos)nAA，1mn．（1）若23a，2c，求ABC的面积；（2）求2cos(60)bcaC的值．16．在三棱柱111ABCABC中，AA,1BC601ACA，11AAACBC，21BA．（1）求证：平面1ABC平面11ACCA；（2）如果D为AB的中点，求证：1BC∥平面1ACD．17．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（阴影部分所示），大棚所占地面积为S平方米，其中:1:2ab．（1）试用,xy表示S；（2）若要使S最大，则,xy的值各为多少？18．设椭圆222:12xyMa2a的右焦点为1F，直线2:22aaxl与x轴交于点A，若1120OFAF（其中O为坐标原点）．（1）求椭圆M的方程；（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆12:22yxN的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求PFPE的最大值．19．设函数2()(1)fxxx．（1）求()fx的极值；（2）讨论函数2()()22lnFxfxxxaxx零点的个数，并说明理由；（3）设函数2()24(xgxexxtt为常数），若使3()()fxxmgx在[0,)上恒成立的实数m有且只有一个，求实数t的值．（7310e）20．已知等比数列{}na的首项12011a，公比12q，数列{}na前n项和记为nS，前n项积记为nT．（1）证明：21nSSS；（2）判断nT与1nT的大小，并求n为何值时，nT取得最大值；（3）证明：若数列{}na中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为12,,,nddd，则数列{}nd为等比数列．一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应的位置上．．．．．．．1．若复数3(,12aiaRii为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为▲.62．已知集合22{|30},{|2,[2,1]}AxxxByyxx，则AB▲.0,23．已知函数()sin()(0,||)2fxAx的部分图像如图，则=▲.234．如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分后，则剩下数据的方差2s▲．（参考公式：2211()niisxxn）15；5．已知直线,ml，平面,，且,ml.下列命题中，其中正确命题的个数是▲.2①若//，则ml；②若，则//ml；③若ml，则//；④若//ml，6．与双曲线1422yx有相同的焦点，且过点(4,3)P的双曲线的标准方程是▲.1422yx；7．已知11tan,tan()23，,均为锐角，则等于▲.4；8．程序框图如下，若恰好经过．．．．6．次．循环输出结果，则a=▲．2Y结束7798577779136（第8题）开始0,1Ti(1)iTTaaaZ且输出T200TN1iiCNP9.在ABC中，3,1,ABACD为BC的中点，则ADBC▲.410．先后抛掷两枚质地均匀的骰子（各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），若骰子朝上的面的点数记为,ab，则事件||2ab的概率为▲．29；11．已知两圆222(1)(1)xyr和222(2)(2)xyR相交于,PQ两点，若点P坐标为(1,2)，则点Q的坐标为▲．(2,1)12.数列na中,111,()211nnnnaaanNnna，则数列na的前2012项的和为▲.20122013；假设1,nnbna∴111,(1)nnbna………1分∵111nnnnaanna，∴111111(1)(1)(1)(1)nnnnnnnbbnanananannna＝111nnnnanana…………………………………3分{}nb是首项为2，公差为1的等差数列.………………………………4分2(1)11,nbnn11(1)nnanbnn=111nn,…………6分11111(1)()()2231nSnn=1111nnn.…………8分13．点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则ANAM的最大值是▲.613．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝1，点M，N分别是AB，BC的中点，点P是△ABC（包括边界）内任一点．则ANMP的取值范围为▲．33,4414.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线24()13fxx的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点,MN，交曲线于点P，则OMN（O为坐标原点）的面积的最小值为▲.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)fxaxa的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点,MN，交曲线于点P，设(,())Ptft（1）将OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数()St；（2）若在12t处，()St取得最小值，求此时a的值及()St的最小值.（1）2yax，切线的斜率为2at，切线l的方程为2(1)2()yatatxt令0,y得22221121222atatatatxtatatat21(,0)2atMat,令0t,得2222121,(0,1)yatatatNatMON的面积222211(1)()(1)224atatStatatat(2)2422222321(1)(31)()44atatatatStatat0,0at,由()0St,得21310,3atta得当21310,3atta即时,()0St当21310,03atta即时,()0St1,()3tSta当时有最小值已知在12t处,()St取得最小值,故有114,233aa故当41,32at时,2min41(1)1234()()4123432StS二.解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知(2cos,3sin)mAA，(cos,2cos)nAA，1mn．（1）若23a，2c，求ABC的面积；（2）求2cos(60)bcaC的值．（1）由22cos23sincos1AAA可知，sin216A，……………4分因为0A，所以112,666A,所以262A，即3A……6分由正弦定理可知：sinsinacAC，所以1sin2C，因为20,3C所以6C，所以2B……………………8分所以1223232ABCS……………………10分（2）原式0sin2sinsincos60BCAC=0sin2sin3cos602BCC00sin(120)2sin3cos602CCC033cossin223cos602CCC=003cos6023cos602CC……………………14分16．在三棱柱111ABCABC中，AA,1BC601ACA，11AAACBC，21BA．（1）求证：平面1ABC平面11ACCA；（2）如果D为AB的中点，求证：1BC∥平面1ACD．（1）在011160,1,AACAACAAAC中，11,AC……………………2分111,1,ABCAC中，BC112,BCACAB，……………………4分又111,,AABCBCACCA平面……………………6分1BCABC平面.111ABCACCA平面平面.……………………8分（2）连接11,ACACO交于，连接DO,则由D为AB中点，O为1AC中点得，OD∥1BC,……………………11分OD平面11,BCDCA平面DCA1，∴1BC∥平面DCA1……………………14分17．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（阴影部分所示），大棚所占地面积为S平方米，其中:1:2ab．（1）试用,xy表示S；（2）若要使S最大，则,xy的值各为多少？(1)由题可得：1800,2xyba，则333yaba…………………………4分3(2)(3)(38)(38)3ySxaxbxax8180833xy.……8分(2)方法一:818004800180831808(3)3Sxxxx……………10分480018082318082401568,xx……………12分当且仅当48003xx,即40x时取等号,S取