孝感市七校2016-2017学年高二下期末考试数学试题(理)含解析

2016—2017学年度下学期孝感市七校教学联盟期末联合考试高二数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】即;即..所以“”是“”的必要而不充分条件.2.下列各式的运算结果为纯虚数的是A.B.C.D.【答案】C【解析】A.=i⋅2i=−2，是实数。B.=−1+i，不是纯虚数。C.=2i为纯虚数。D.=i−1不是纯虚数。故选：C.3.已知命题；命题若,则．下列命题为真命题的是A.B.C.D.【答案】B【解析】命题成立。故命题p为真命题；当a=1,b=−2时,成立，但ab不成立，故命题q为假命题，...故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；命题p∧￢q为真命题，故选：B.4.椭圆的离心率是A.B.C.D.【答案】B【解析】椭圆中.离心率，故选B.5.已知直线的方向向量，平面的法向量，若，，则直线与平面的位置关系是A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线在平面内或直线与平面平行【答案】D【解析】因为，即，所以直线在平面内或直线与平面平行，故选D．6.已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为A.B.C.D.【答案】B【解析】椭圆的焦点坐标(±3,0)，则双曲线的焦点坐标为(±3,0)，可得c=3，双曲线(a0,b0)的一条渐近线方程为，可得,即,可得,解得a=2,b=，所求的双曲线方程为：.故选：B.7.函数在上的最大值和最小值分别为A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：对函数求导得，由于，所以在上是减函数，在上是增函数，而，所以在上的最大值和最小值分别是，故选A.考点：1、导数在函数研究中的应用；2、单调区间，极值.8.若是正整数的值为A.B.C.D.【答案】D【解析】，故选D....9.设函数的图象与轴相交于点，则曲线在点处的切线方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】由，可令f(x)=0,即=1，解得x=0可得P(0,0)，又f′(x)=−，∴f′(0)=−e0=−1.∴f(x)=1−在点P(0,0)处的切线方程为y−0=−1×(x−0)，即y=−x.故选：C.10.已知，则的值为A.B.C.D.【答案】C【解析】.所以，故选C.11.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B．丁可能知道两人的成绩B.乙、丁可以知道对方的成绩C.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己的成绩;若是两良,甲也会知道自己的成绩)→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D.12.已知函数的导函数满足，则对都有A.B....C.D.【答案】A【解析】构造函数F(x)=x2f(x)，则F′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x))，当x0时,F′(x)x30,F(x)递增；当x0时,F′(x)x30,F(x)递减，所以F(x)=x2f(x)在x=0时取最小值，从而F(x)=x2f(x)⩾F(0)=0，故选A.点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：，构造xf(x)；2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；，构造;，构造；，构造.等等.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.在数列中，()，猜想这个数列的通项公式是________．【答案】()【解析】试题分析：由已知，得，，，，．所以猜想该数列的通项公式为．考点：本题主要考查归纳推理的意义，递推数列。点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14.函数的单调减区间是_________________．【答案】或【解析】由题知函数定义域为，又，则，解得，则．故本题应填．15.已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为_________________．【答案】1【解析】函数f(x)=ax−lnx,可得,切线的斜率为：，切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)，l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1....故答案为：1.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．16.设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记．当为锐角时，的取值范围是________．【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，由得，则，因为为锐角，所以，解得或，又因为动点在棱长为1的正方体的对角线上，所以的取值范围为.点睛：求空间角（异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角），往往转化为空间向量的夹角问题，利用直线的方向向量、平面的法向量进行求解.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（Ⅰ）求函数的导数；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数除法运算法则求导即可；（Ⅱ）利用定积分的几何意义求解即可试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ）表示圆与轴所围成的上半圆的面积，因此…18.用反证法证明：如果，那么．【答案】见解析.【解析】假设x2＋2x－1＝0则(x＋1)2＝2∴x＝－1±此时x与已知x矛盾，故假设不成立．∴原命题成立19.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点．（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；（Ⅱ）当，，求二面角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）.以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AG-C的大小．试题解析：（Ⅰ）因为，，...，平面，，所以平面，又平面，所以，又，因此设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量.设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量.所以.因此所求的角为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点．求与的面积之比．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4:5.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为4：5试题解析：（Ⅰ）焦点在轴上，，∴∴，∴；（Ⅱ）设，直线的方程是，，，直线的方程是，……6分直线的方程是，...直线与直线联立，整理为：，即……即，解得，代入求得又和面积的比为4:5.21.圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高()与半径()应怎样选择，才能使所用材料最省？【答案】当罐与底面直径相等时，所用材料最省【解析】试题分析：解这类有关函数最大值、最小值的实际问题时，首先要把各个变量用字母表示出来，然后需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间，求导，利用单调性求最值即可.试题解析：设圆柱的高为，底半径为，则表面积．由得因此令解得.当时，当时，因此是函数的极小值点，也是最小值点．此时，答：当罐与底面直径相等时，所用材料最省．22.已知函数在x=2处的切线与直线垂直．．．（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若存在，使成立，求m的最小值．【答案】（Ⅰ）函数f(x)的单调递减区间是(0，1]，单调递增区间是[1，+∞)；（Ⅱ）m的最小值是5.【解析】试题分析：1）求出函数的导数，根据f′（2）的值，求出a，从而求出函数的单调区间；（2）问题等价于当x∈（1，+∞）时，成立，设，根据函数的单调性判断即可．试题解析：（Ⅰ）由已知，，解得：a=1∴当时，，f(x)是减函数当时，，f(x)是增函数...∴函数f(x)的单调递减区间是(0，1]，单调递增区间是[1，+∞)．（Ⅱ）解：∵，∴等价于即存在，使成立，∴设，则设，则∴h(x)在上单调递增.又h(3)0，h(4)0，∴h(x)在上有唯一零点，设为x0，则，且又，∴m的最小值是5．点睛：利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a有解，只需f(x)max≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)min≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.