2013年重庆一中高2013级高三下第三次月考试题及答案(理)

秘密★启用前201３年重庆一中高2013级高三下期第三次月考数学试题卷（理科）2013.5数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集,IR集合222,log3AyyxBxyx，则ICAB（）A.23xxB.2xxC.3xxD.2xx2.向量1,tan,cos,13ab，且a∥b，则锐角的余弦值为（）A.13B.23C.23D.2233.621xx的展开式中，常数项等于（）A.15B.10C.15D.104.在等差数列na中每一项均不为0，若1220131007aaata，则t（）A.2011B.2012C.2013D.20145.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A.12B.13C.14D.156.在ABC中，已知2sincossinABC，那么ABC一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.正三角形D.等腰直角三角形7.若定义在R上的函数fx的导函数是'1fxxx，则函数log01agxfxa的单调递减区间是（）A.1,0B.1,,0,1aC.11,aD.11,,,aa8右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值。若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有()A.1个B.2个C.3个D.4个9已知正数,,xyz满足2221,xyz则212Sxyz的最小值为（）A.2B.4C.92D.9410过双曲线222210,0xyabab的左焦点(,0)0Fcc，作倾斜角为6的直线FE交该双曲线右支于点P，若12OEOFOP，且0,OEEF则双曲线的离心率为（）A.105B.31C.102D.51第Ⅱ卷（非选择题，共100分)二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.在复平面内，复数1aiaRi对应的点位于虚轴上，则a12.某四面体的三视图如下图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．是_______.13.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，3，，9的9个小正方形，使得任意相邻（由公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有种。考生注意：14，15，16三题为选作题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DC=2，BC=1，则DCAsin.15.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为3,3、4,6，则AOB（其中O为极点）的面积为16.若不等式16xxm的解集为空集，则实数m的取值范围为三.解答题.（本大题6个小题，共75分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定位置）17．（本小题满分13分）已知向量sin,2,1,cosaxbx，0,04，函数,fxababyfx图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点71,2M。（1）求函数fx的解析式（2）当11x时，求函数fx的单调区间。18（本小题满分13分）设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局。在一局比赛中，甲胜乙的概率为35，甲胜丙的概率为34，乙胜丙的概率为23。比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束。（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望E。19（本小题满分13分）已知函数()(1)e(0)xafxxx，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a时，求曲线()yfx在(1,(1))f处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）若函数()fx存在一个极大值和一个极小值，且极大值与极小值的积为5e，求a的值.20（本小题满分12分）如图，四边形ABCD中，BCD为正三角形，2ABAD，32BD，AC与BD交于O点．将ACD沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为，且P点在平面ABCD内的射影落在ACD内．（Ⅰ）求证：AC平面PBD；（Ⅱ）若3时，求二面角DPBA的余弦值。21（本小题满分12分）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为33，且经过点231,3Q。若分别过椭圆的左右焦点1F、2F的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率1k、2k、3k、4k满足4321kkkk．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点M、N，使得||||PNPM为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．22（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列}{na满足：*12323(1)()3nnnaaanaaanNn。（1）求na的通项公式DABCOP（第20题）AOPDCBxy1l2l1F2F（第21题）（2）当2n时，求证：12112111ln111lnlnlnlnlnnnnaaaaaaaa命题人：谢凯审题人：王明2013年重庆一中高2013级高三下期第三次月考数学答案（理科）2013.5一.选择题.(每小题5分,共50分)题号12345678910答案DDACABCCBB二.填空题.(每小题5分,共25分)11.012.2513.10814.3515.316.,75,三.解答题.(共75分)17.(13分)解：（1）222222sin3cosfxababababxxcos223x，由题意得周期24,2T故4，又图象过点71,2M所以73cos222，即1sin22，而04，故26，则：3cos26fxx（2）当11x时，23263x当0326x时，即11,3x时，fx是减函数。当20263x时，即1,13x时，fx是增函数。则函数fx的单调递减区间是11,3，单调递增区间是1,1318.(13分)解：（1）只进行三局比赛，即丙获胜比赛就结束的概率为311211154353412P（2）2,3,4332243(2)545360P，3112111(3)54353412P3122131214543534605P的分布列为：234P43601121543111492346012560E19.(13分)解：（Ⅰ）22()exxaxafxx，当2a时，2222()exxxfxx，12122(1)ee1f，(1)ef，所以曲线()yfx在(1,(1))f处的切线方程为e2eyx切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)，所以，所求面积为122e2e2.（Ⅱ）因为函数()fx存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程20xaxa在(0,)内存在两个不等实根，240,0.aaa.，则4a设12,xx为函数()fx的极大值和极小值，则12xxa，12xxa，因为，512()()efxfx，所以，1251212eeexxxaxaxx，即1225121212()eexxxxaxxaxx，225eeaaaaa，5eea，解得，5a，此时()fx有两个极值点，所以5a.20.(12分)解：（1）取BD中点Q，则,,BDCQCQABDAQ三点共线，即Q与O重合。则ACBDACACPO面PBD（2）因为AC面PBD，而AC面ABCD，所以面ABCD面PBD，则P点在面ABCD上的射影点在交线BD上（即在射线OD上），所以PO与平面ABCD所成的角3POD。以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建空间直角坐标系。33(1,0,0),(0,3,0),0,,22ABP，因为AC面PBD，所以面PBD的法向量1(1,0,0)nOA，设面PAB的法向量2,,nxyz，又1,3,0AB，由2nAB，得30xy①，又3330,,22PB，由2nPB，得333022yz②，在①②中令3y，可得3xz，则23,3,3n所以二面角DPBA的余弦值3321cos719392121.(12分)解：（1）设椭圆方程为222210xyabab，则由题意知33cea，则22223,2acbc，则椭圆方程为22232xyc，代入点231,3P的坐标可得21c，所求椭圆方程为22132xy（2）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1,0)或(1,0)．当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为1m，2m，设),(11yxA，),(22yxB，由)1(123122xmyyx得0636)32(2121221mxmxm，∴212121326mmxx，2121213263mmxx．)2()11(2121122111221121xxxxmxxxxmxyxykk24)222(21121211mmmmm，同理43kk24222mm．∵4321kkkk，∴2424222211mmmm，即0))(2(1221mmmm．又21mm，∴0221mm．设),(yxP，则0211xyxy，即)1(1222xxy，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1,0)或(1,0)也满足，∴),(yxP点椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为(0,-1)、(0,1)，使得||||PNPM为定值22．22(12分)解：（1）1232,3,4aaa，猜测：1nan。下用数学归纳法证明：①当11,112na时，猜想成立；②假设当(1)nkk时猜想成立，即1kak，由条件123(1)233nnnnaaaaana，111231(1)(1)23(1)(2)3nnnnaaaaanan，两式相减得：11(1)(1)(1)3