【浙江专版】必修2《圆与方程》阶段质量检测试卷(四)含解析

阶段质量检测（四）圆与方程(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于()A.2B．2C．22D．4解析：选B由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝3，弦心距d＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r2－d2＝2，选B.2．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0解析：选D由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝1－01－3＝－12，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.3．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：选D∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由a2＋32＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.4．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为()A.2x＋y－5＝0B.2x＋y＋5＝0C．2x＋y－5＝0D．2x＋y＋5＝0解析：选C∵M(2,1)在圆上，∴切线与MO垂直．∵kMO＝12，∴切线斜率为－2.又过点M(2,1)，∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.5．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为()A．－3B．3C．－3或3D．以上都不对解析：选C圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－32＋42＝a2＋7－1，解得a＝±3.6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为()A．14米B．15米C.51米D．251米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，可设A′(x0，－3)(x00)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝51，∴水面宽度|A′B′|＝251米．7．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0解析：选A设点P(3,1)，圆心C(1,0)．已知切点分别为A，B，则P，A，C，B四点共圆，且PC为圆的直径．故四边形PACB的外接圆圆心坐标为2，12，半径长为123－12＋1－02＝52.故此圆的方程为(x－2)2＋y－122＝54.①圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1.②①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为()A．1B.2C．2D．22解析：选A由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.因为直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB|＝2r2－d2＝24－2＝22.又坐标原点O到弦AB的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2－02＋－3＋22＝5，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝510．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为______________．解析：设B点的坐标为(x，y，z)，则有x＋32＝4，y＋22＝3，z＋12＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，故B点的坐标为(5,4,1)．答案：(5,4,1)11．圆O：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线l：3x＋4y＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)到直线l的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝31，∴动点Q到直线l的距离的最大值为3＋1＝4.答案：412．已知过点(1,1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y＋2＝0相切，则圆C的半径为________，直线l的方程为________．解析：圆C的标准方程为x2＋(y－2)2＝2，则圆C的半径为2，圆心坐标为(0,2)．点(1,1)在圆C上，则直线l的斜率k＝－12－10－1＝1，则直线l的方程为y＝x，即x－y＝0.答案：2x－y＝013．已知圆C：(x－1)2＋y2＝25与直线l：mx＋y＋m＋2＝0，若圆C关于直线l对称，则m＝________；当m＝________时，圆C被直线l截得的弦长最短．解析：当圆C关于l对称时，圆心(1,0)在直线mx＋y＋m＋2＝0上，得m＝－1.直线l：m(x＋1)＋y＋2＝0恒过圆C内的点M(－1，－2)，当圆心到直线l的距离最大，即MC⊥l时，圆C被直线l截得的弦长最短，kMC＝－2－0－1－1＝1，由(－m)×1＝－1，得m＝1.答案：－1114．已知点M(2,1)及圆x2＋y2＝4，则过M点的圆的切线方程为________，若直线ax－y＋4＝0与该圆相交于A，B两点，且|AB|＝23，则a＝________.解析：若过M点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y＝k(x－2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k＋1|k2＋1＝2，解得k＝－34，故切线方程为y＝－34(x－2)＋1，即3x＋4y－10＝0.综上，过M点的圆的切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.由4a2＋1＝4－32得a＝±15.答案：x＝2或3x＋4y－10＝0±1515．已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0化为标准方程得(x－a)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(a，－2)，半径为r1＝3，将圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0化为标准方程得(x＋1)2＋(y－a)2＝4，圆心为C2(－1，a)，半径为r2＝2.两圆的圆心距d＝a＋12＋－2－a2＝2a2＋6a＋5＝2a＋322＋12，所以当a＝－32时，dmin＝22，此时22＜|3－2|，所以两圆内含．答案：22内含三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|.解：∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,1)．∴G点的坐标为G－1，－1，12∴|BG|＝32＋32＋14＝732.17．(本小题满分15分)已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.(1)求以OP为直径的圆的方程；(2)求直线AB的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)，半径为12|OP|＝124－02＋6－02＝13，∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.(2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．由x2＋y2＝1，x－22＋y－32＝13，得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.18．(本小题满分15分)已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝12|AB|＝10为半径．则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)法一：直线AB的斜率k＝4－－2－1－1＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝13x，即x－3y＋3＝0.由x－3y＋3＝0，2x－y－4＝0，解得x＝3，y＝2，即圆心的坐标是C(3,2)．∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.则1－a2＋－2－b2＝R2，－1－a2＋4－b2＝R2，2a－b－4＝0⇒a＝3，b＝2，R2＝20.∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.19．(本小题满分15分)已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示过圆x2＋y2－20＝0和直线－4x＋2y＋20＝0交点的圆系．由x2＋y2－20＝0，－4x＋2y＋20＝0得x＝4，y＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.①当两圆外切时，d＝r1＋r2，即2＋5a－22＝5a2，解得a＝1＋55或a＝1－55(舍去)；②当两圆内切时，d＝|r1－r2|，即|5a－22－2|＝5a2，解得a＝1－55或a＝1＋55(舍去)．综上所述，a＝1±55.20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－3y－4＝0相切．(1)求圆O的方程．(2)直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O的半径长为r，因为直线x－3y－4＝0与圆O相切，所以r＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)法一：因为直线l：y＝kx＋3与圆O相交于A，B两点，所以圆心(0,0)到直线l的距离d＝|3|1＋k22，解得k52或k－52.假设存在