重庆市西南师大附中2010届高三第五次月考理科数学2010.1

重庆市西南师大附中2010届高三第五次月考数学试题(理)2010年1月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．卷面共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设fxx：是集合A到集合B的映射．若3,0,3A，则AB（）A．{0}B．{0，3}C．{3}D．{3，0}2.已知等差数列{an}满足：35111380aaaa，则a8=（）A．18B．20C．22D．243.“a=3”是“直线210axy与直线640xyc平行”的（）条件A．充要B．充分而不必要C．必要而不充分D．既不充分也不必要4.00tan15cot15的值为（）A．23B．3C．3D．235.已知双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6.若函数()cos21fxx的图像按向量a平移后，得到的图像关于原点对称，则向量a可以是（）A．（1，0）B．(1)2，C．(1)4，D．(1)4，7.关于x的函数y=log21(a2－ax+2a)在［1，+∞)上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．(－∞，－1)B．（，0）C．(1，0)D．(0，2]8.已知数列{an}的通项为*1log(2)()nnannN，我们把使乘积123naaaa为整数的n叫做“优数”，则在(12010]，内的所有“优数”的和为（）A．1024B．2003C．2026D．20489.已知椭圆22221xyab的左、右焦点分别为F1、F2，则12||2FFc，点A在椭圆上且2112120AFFFAFAFc且，则椭圆的离心率为（）A．33B．22C．312D．51210.定义函数()[[]]fxxx，其中[]x表示不超过x的最大整数，如：[1.5]1[1.3]2，，当*[0)()xnnN，时，设函数()fx的值域为A，记集合A中的元素个数为an，则式子90nan的最小值为（）A．10B．13C．14D．16第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11.不等式22log1xx的解集为______________．12.函数sin()(10)()3(1)(0)xxfxfxx，则(1)f________________．13.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若59611229aSaS，则______________．14.x、y满足约束条件：225040yxyxy，则1|5|2zxy的最小值是______________．15.已知集合{|18}MxxxN，，对于它的非空子集A，将A中的每个元素k，都乘以(1)k再求和，（如A={1，3，6}，可求和得到136(1)1(1)3(1)62），则对M的所有非空子集，这些和的总和是________________．三、解答题：本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本小题满分13分)已知函数()sin2sin2cos2(66fxxxxaaaR，为常数）．求函数的最小正周期；求函数的单调递增区间；若02x，时，()fx的最小值为–2，求a的值．17.(本小题满分13分)数列{an}中，a1=1，当2n时，其前n项和满足21()2nnnSaS求Sn的表达式；设21nnSbn，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．18.(本小题满分13分)已知圆C：22(1)(2)25xy，直线l：(21)(1)740()mxmymmR．证明：不论m取什么实数时，直线l与圆恒交于两点；求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．19.(本小题满分12分)已知2(1)()(0)2xpxpfxpxp若p1时，解关于x的不等式()0fx；若()2fx对24x时恒成立，求p的范围．20.(本小题满分12分)已知点A(–2，0)，B(2，0)，动点P满足：2APB，且2||||sin2PAPB.求动点P的轨迹G的方程；过点B的直线l与轨迹G交于两点M、N．试问在x轴上是否存在定点C，使得CMCN为常数.若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分)数列{an}中a1=2，111()2nnnaaa，{bn}中*91log11nnnabnNa，．求证：数列{bn}为等比数列，并求出其通项公式；当*3()nnN时，证明：2312312337444414(1)(1)(1)(1)nnnbbbb．西南师大附中高2010级第五次月考数学试题参考答案（理）2010年1月一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．1．B2．B3．C4．A5．D6．C7．A8．C9．D10．B二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．[20)，12．3213．214．3215．512三、解答题：本题共6小题，共75分．16．解：(1)()2sin2coscos23sin2cos22sin266fxxxaxxaxa∴()fx的最小正周期22T(2)当222262kxk即()36kxkkZ时，函数()fx单调递增，故所求区间为()36kkkZ，(3)02x，时，72666x，2x时，()fx取得最小值2sin(2)2126aa17．解：(1)当2n时，1nnnaSS代入已知得211()()2nnnnSSSS化简得：111122nnnnSSSS两边同除以11112nnnnSSSS得∴111(1)212(1)21nnnnSS∴121nSn(2)∵1111121()2121(21)(21)22121nnSnbnnnnnn∴12nnTbbb111111(1)2335212111(1)221nnn21nn18．解：(1)由(27)(4)0mxyxy知直线l恒过定点又27341xyxxyy∴直线l恒过定点A（3，1），且22(31)(12)525A（3，1）必在圆内，故直线l与圆恒有两交点．(2)∵圆心为C（1，2），定点为A（3，1）∴211132ACk由平面几何知识知，当直线l与AC垂直时所截线段最短，此时2lk∴l方程为：12(3)25yxyx，此时||415dAC∴最短弦长22554519．解：(1)()(1)()02xpxfxxp①12{|1}2ppxpxx时，解集为或②p=2时，解集为{|21}xxx且③p2时，解集为{|1}2pxpxx或(2)2(1)22xpxpxp2(1)42xpxpxp∴2(3)024xpxpx对恒成立∴232(2)2411xxpxxxx对恒成立∵2()(2)[24]1gxxx在，上递减∴max()(2)2gxg∴p220．解：(1)由余弦定理得：222||||||2||||cos2ABPAPBPAPB即16＝222||||2||||(12sin)PAPBPAPB＝222||||2||||4||||sinPAPBPAPBPAPB2(||||)8PAPB所以2(||||)8PAPB，即||||||224||PAPBAB（当动点P与两定点A，B共线时也符合上述结论）所以动点P的轨迹为以A，B为焦点，实轴长为22的双曲线所以，轨迹G的方程为222xy(2)假设存在定点C(m，0)，使CMCN为常数.①当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为22(2)2ykxxy，代入整理得2222(1)4(42)0kxkxk由题意知，1k设1122()()MxyNxy，，，，则212241kxxk，2122421kxxk于是2222121212122224yykxxkxxkxxk∴21122121212()()()CMCNxmyxmyxxmxxyym，，＝22221212124kxxkmxxmk＝22222222(42)(1)4(2)411kkkkmmkkk2222222242(24)211kkmkmmmkk22222(1)(24)2244(1)2(12)11kmmmmmmkk要是使得CMCN为常数，当且仅当1m，此时1CMCN②当直线l与x轴垂直时，(22)(22)MN，，，,当1m时1CMCN．故，在x轴上存在定点C(1，0)，使得CMCN为常数21．证明：(1)由21191919111()1121log1log1log()11111()12nnnnnnnnnnnaaaabbbaaaa1912log11nnnaba又91log11nnnaba∴112nnbb又n=1时，119111log121abba∴{}nb为等比数列，b1=2，12q，∴12112()()22nnnb(2)∵21141()4()2122()2nnnnnnbb∴42(1)(1)nnnnnnnCb先证：1(3)2(1)2nnnnnn当n为偶数时，显然成立；当n为奇数时，即证1222121212nnnnnnnnnnnn而当3n时，21nn显然也成立，故1(3)2(1)2nnnnnn当4n时，令45645645656712121212(1)2222nnnnnT又令45656712222nnA①561156122222nnnnA②①－②：4561151111222222nnnA4345111[1()]5111151316212222282412nnnnnnA∴34T又123123123236412121215735CCC∴所证式子左边6433693703735414014014即2312312337444414(1)(1)(1)(1)nnnbbbb