2012—2013年高二上学期数学（理）期中试题及答案

昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题数学（理）（共100分,考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、选择题（每小题3分，共36分.每小题只有一项是符合题目要求）1．抛物线y2＝4x，经过点P(3，m)，则点P到抛物线焦点的距离等于()A.94B．4C.134D．32．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－14B．－4C．4D.143．命题：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠04.“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x＋2y＋10＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()A．5B．4C.1155D.1156．设a∈R，则a＞1是1a＜1的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.已知椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值为()A3B．3或253C.15D.15或51538．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1B.15C.75D.359.若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，求该双曲线的离心率是()A.5B.62C．233D.210．从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|＝5，则△MPF的面积为()A．56B.2534C．20D．1011．在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．312．已知椭圆221:12xyCmn与双曲线222:1xyCmn共焦点，则椭圆1C的离心率e的取值范围为()A．2(,1)2B．2(0,)2C．(0,1)D．1(0,)2昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题数学（理）第Ⅱ卷题号一二三总分1718192021得分二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）13．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是；14．设实数,xy满足20240230xyxyy，则yx的最大值是；15．经过椭圆x22＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则OA→·OB→=;16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，则我们知道1|AF|＋1|BF|为定值，请写出关于椭圆的类似的结论：________________________________________________；当椭圆方程为x24＋y23＝1时，1|AF|＋1|BF|＝___________.三、解答题：（本大题共5小题，共52分）17．(本小题满分10分)设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若┐p是┐q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．18.（本小题满分10分）（1）求与椭圆2212516xy共焦点的抛物线的标准方程.(2)已知两圆221:42Cxy，222:42Cxy，动圆M与两圆一个内切，一个外切，求动圆圆心M的轨迹方程．19．（本小题满分10分）如图，已知点P在正方体1111ABCDABCD的对角线1BD上，60PDA.（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小.B1C1D1A1CDABP20．（本小题满分10分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，2BC，且侧面PAB是正三角形，平面PAB平面ABCD.（1）求证：PDAC；（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E—BD—A的大小为45，若存在，试求AEAP的值，若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知圆C的方程为224xy，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆2222:1(0)xyTabab的右顶点和上顶点.（1）求椭圆T的方程；（2）已知直线l与椭圆T相交于P，Q两不同点，直线l方程为3(0)ykxk，O为坐标原点，求OPQ面积的最大值.昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题数学（理）答案一、选择题：BADBCABCCDDA二、填空题：13.存在x∈R，x3－x2＋1＞014.3215.－1316.过椭圆的焦点F的动直线交椭圆于A、B两点，则1|AF|＋1|BF|为定值43三、解答题：17.解析：解|4x－3|≤1得12≤x≤1.解q得a≤x≤a＋1.由题设条件得q是p的必要不充分条件，即p⇒q，qp.∴[12，1][a，a＋1]．∴a≤12且a＋1≥1，得0≤a≤12.18.（1）212yx或212yx（2）221214xy19.解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz．则(100)DA，，，(001)CC，，．连结BD，BD．在平面BBDD中，延长DP交BD于H．设(1)(0)DHmmm，，，由已知60DHDA，，由cosDADHDADHDADH，可得2221mm．解得22m，所以22122DH，，．（Ⅰ）因为220011222cos212DHCC，，所以45DHCC，．即DP与CC所成的角为45．（Ⅱ）平面AADD的一个法向量是(010)DC，，．，，所以60DHDC，．可得DP与平面AADD所成的角为30．ABCDPABCDxyzH20．解析：取AB中点H，则由PA＝PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．以H为原点，建立空间直角坐标系H－xyz（如图）．则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,0,3)ABDCP（I）证明：∵(1,2,3),(2,2,0)PDAC,∴(1,2,3)(2,2,0)0PDAC，∴PDAC，即PD⊥AC．………．．6分（II）假设在棱PA上存在一点E，不妨设AE=λAP(01)，则点E的坐标为(1,0,3)，………．．8分∴(2,0,3),(2,2,0)BEBD设(,,)nxyz是平面EBD的法向量，则nBEnBD00nBEnBD(2)0302200xyzxyz232zxyx，不妨取3x，则得到平面EBD的一个法向量2(3,6,)n．又面ABD的法向量可以是HP=（0,0,3），要使二面角E-BD-A的大小等于45°，则02(3,6,)(0,0,3)cos45|cos,|2(3,6,)(0,0,3)HPnHPnHPn可解得12，即AE=12AP故在棱PA上存在点E，当12AEAP时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°．PEBCDAHxyz21．解析：（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2x，设另一条切线方程为：4(2)ykx则：2|42|21kk，解得：34k，此时切线方程为：3542yx切线方程与圆方程联立得：68,55xy，则直线AB的方程为22yx令0x，解得1y，∴1b；令0y,得2x,∴2a故所求椭圆方程为1422yx（Ⅱ）联立223,1.4ykxxy整理得08384122kxxk，令),(11yxP，),(22yxQ，则2214138kkxx，221418kxx，0)41(32)38(22kk，即：0122k原点到直线l的距离为231dk，212||1||PQkxx，∴221212122213321||()426222(14)OPQkSPQdxxxxxxk=2222222112626194(21)12(21)94(21)1221kkkkk当且仅当52k时取等号，则OPQ面积的最大值为1．