广东金山中学2012届高三第一学期期中考试（理数）

金山中学2012届高三第一学期期中考试理科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：（本大题共8个小题；每小题5分，共40分）1、若集合RxxxA,1，RxxyyB,22，则BA（）A．11xxB．0xxC．10xxD．2、下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若2x=1,则x=1”的否命题为若“2x=1,则x1”B．“x=-1”是“2x-5x-6=0”的必要不充分条件C．命题“,Rx使得2x+x+10”的否定是：“Rx均有2x+x+10”D．命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题3、已知函数)(xfy的图像关于1x对称，且在（1，+∞）上单调递增，设)21(fa，)2(fb，)3(fc，则a，b，c，的大小关系为（）A.abcB.cabC.acbD.cba4、为了得到函数)322sin(xy的图像，只需把函数)62sin(xy的图像（）A.向左平移2个单位长度B.向右平移2个单位长度C.向左平移4个单位长度D.向右平移4个单位长度5、若310tan1tan，)2,4(，则)42sin(的值为（）A.102B.102C.1023D.10276、已知)0()0(2)(2xxxxxf，则[()]1ffx的解集是()A.(,2]B.[42,)C.(,1][42,)D.(,2][4,)7、若1a，设函数4)(xaxfx的零点为m，4log)(xxxga的零点为n，则nm11的取值范围是()A.(3.5,+∞)B.(1,+∞)C.(4,+∞)D.(4.5,+∞)8、定义在R上的周期函数f(x)，周期T=2，直线x=2是它的图象的一条对称轴，且f(x)在[-3，-2]上是减函数，如果A、B是锐角三角形的两个内角，则()A.f(sinA)f(cosB)B.f(cosB)f(sinA)C.f(sinA)f(sinB)D.f(cosB)f(cosA)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、已知1||a，2|b，60,ba，则|2|ba=_______10、如果函数y=3cos(2x+θ)的图像关于点)0,34(中心对称，那么|的最小值是____11、设α是第二象限的角，34tan，且2cos2sin，则2cos=_______12、规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即ba*=baab,ba,是正实数，已知1k=3,则函数xkxf)(的值域是13、设曲线1*()nyxnN在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为nx,令lgnnax，则1299aaa的值为14、已知函数124)(xxf的定义域是[ba,]（ba,为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数对(ba,)共有___________个.三、解答题：（本大题共6小题，满分80分）15、（本小题满分12分）已知)3,2(),,(),1,6(CDyxBCAB，(1)若BC//DA，求x与y之间的关系式；(2)在(1)的前提下，若BDAC，求向量BC的模的大小。16、（本小题满分12分）已知向量a)3cos3,3(cos),3cos,3(sinxxbxxab)3cos3,3(cos),3cos,3(sinxxbxxa，函数()fxaba·b，(1)求函数f（x）的单调递增区间；(2)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．17、（本小题满分14分）已知△ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，)cos,(Bam，),(cosbAn，a≠b，已知nm.(1)判断三角形的形状，并说明理由。(2)若BABAysinsinsinsin，试确定实数y的取值范围．18、（本小题满分14分）已知函数23)12(31)(xaxxf1)2(3xaa，a∈R．(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(3，f(3))处的切线方程：(2)当函数y=f'(x)在(0,4)上有唯一的零点时，求实数a的取值范围.19、（本小题满分14分）某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数fx与时间x(小时)的关系为212,0,2413xfxaaxx，其中a是与气象有关的参数，且30,4a，若用每天fx的最大值为当天的综合污染指数，并记作Ma.(1)令2,0,241xtxx，求t的取值范围；(2)求函数Ma；(3)市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染是否超标？请说明理由。20、（本小题满分14分）已知函数2()2ln(0)fxxxx。(1)求函数()fx的单调区间与最值；(2)若方程0)(mxf在区间1,ee内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；（其中e为自然对数的底数）(3)如果函数()()gxfxax的图像与x轴交于两点12(,0),(,0)AxBx，且120xx，求证：12()0gpxqx（其中，()gx是()gx的导函数，正常数qp、满足1,pqqp）参考答案一．选择题：（本大题共8个小题；每小题5分，共40分）题号12345678答案CDBCADBA二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、3210、611、5512、(1,+∞)13、-214、5三、解答题：（本大题共6小题，满分80分）15、（本小题满分12分）解：(1)BCABAD)2,4(yxCD............1分DABC//，∴x(2-y)-y(-x-4)=0............3分∴x+2y=0.............4分(2))1,6(yxAC，)3,2(yxBD..........5分BDAC，0BDAC,∴(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0......7分又∵x+2y=0,∴(-2y+6)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0即y2-2y-3=0，解得y=3或y=-1...............9分即)3,6(BC或(2，-1).............10分53||BC或5.............12分16、（本小题满分12分）1232()()sincos3coscossin(1cos)333323231232323sincossin()23232332xxxxxxfxabxxxⅠ3分令2233222kxk，解得，)(,43453Zkkxk.故函数)(xf的单调递增区间为)(],43,453[Zkkk.6分22222221(),cos.2222acbacacacacbacxacacacⅡ8分953323,301cos21xxx，，2sinsin()1333x，10分23123)332sin(3x即)(xf的值域为]231,3(.综上所述，)(],3,0(xfx的值域为]231,3(.12分17、（本小题满分14分）解：（1）∵mn,∴0mn,∴coscos0aAbB.2分由正弦定理知，21sinsinabRAB，∴sin,sinaAbB.∴sincossincos,AABB∴sin2sin2AB.4分∵,0,AB,∴22AB或22AB.5分∴AB（舍去）,2AB。所以三角形ABC是直角三角形6分(2)ABcossinAAAAycossincossin.7分),4sin(2cossinAAA),2,0(A)43,4(4A.]1,22()4sin(A]2,1(cossinAA9分令21sincos1,2,sincos2tAAtAA，11分∴22211txttt.12分∵1tt在1,2单调递增，∴1120222tt，∴22x，ba,故x的取值范围为),22(.14分18、（本小题满分14分）解：（1）当0a时，321()13fxxx，∴(3)1f，∵2'()2fxxx...............2分曲线在点(3,1)处的切线的斜率'(3)3kf∴所求的切线方程为13(3)yx，即38yx----------------4分(3)∵2'()2(21)3(2)fxxaxaa(3)(2)xaxa∴123,2xaxa-----------------------------------------------6分①当12xx时，32aa，解得1a，这时123xx，函数'()yfx在(0,4)上有唯一的零点，故1a为所求；-------------------------------------7分②当12xx时，即32aa1a，这时12xx3，又函数'()yfx在(0,4)上有唯一的零点，∴2134,324,424.34.3xaaxa，-----------------------10分③当12xx时，即1a，这时12xx3又函数'()yfx在(0,4)上有唯一的零点，∴120,30,2003.023.xaaxa------------------------13分综上得当函数'()yfx在(0,4)上有唯一的零点时，20a或423a或1a.---------------------------------14分19、（本小题满分14分）解（1）∵2,0,241xtxx,0x时，0t.024x时，1,21xtxxxx，∴102t.∴10,2t。---------3分（2）令21,0,231)(taattg--------------------4分当1134a，即7012a时，max1552266gxgaaa.--7分当1134a，即73124a时，max1102333gxgaaa.-10分所以57,0,6121733,.3124aaMaaa--------------------11分（3）当70,12a时，Ma是增函数，7721212MaM.------12分当73,124a时，Ma是增函数，3232412MaM.----------13分综上所述，市中心污染没有超标.--------------------14分20、（本小题满分14分）解：（1）∵22(1)(1)()2xxfxxxx，0x，-----1分∴当01x时，()0fx，()fx单调递增；当1x时，()0fx，()fx单调递减。----3分∴当x=1时，()fx有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值。-----4分故()fx的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)；最大值为-1，但无最小值。（2）方程化为22lnmxx，-----5分由（1）知，()fx在区间1,ee上的最大值为-1，211()2fee，2()2fee，1()()fefe。故22lnmxx在区间1,ee