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阶段质量检测(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.有一段“三段论”,推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点.因为f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0,所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中()A.小前提错误B.大前提错误C.推理形式错误D.结论正确2.观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,…,猜想第n(n∈N*)个等式应为()A.9(n+1)+n=10n+9B.9(n-1)+n=10n-9C.9n+(n-1)=10n-1D.9(n-1)+(n-1)=10n-103.观察下面图形的规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.■B.△C.□D.○4.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A.各正三角形内任一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点5.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.1996.已知c1,a=c+1-c,b=c-c-1,则正确的结论是()A.abB.abC.a=bD.a、b大小不定7.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为()A.6n-2B.8n-2C.6n+2D.8n+28.已知an=13n,把数列{an}的各项排成如下的三角形:记A(s,t)表示第s行的第t个数,则A(11,12)等于()A.1367B.1368C.13111D.131129.已知f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,则f(1)+f(2)+…+f(n)不能等于()A.f(1)+2f(1)+…+nf(1)B.fnn+12C.nn+12D.nn+12f(1)10.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},…,依此类推,则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是()A.Sn=n2B.Sn=n3C.Sn=n4D.Sn=n(n+1)11.在等差数列{an}中,若an>0,公差d>0,则有a4a6>a3a7,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是()A.b4+b8>b5+b7B.b4+b8<b5+b7C.b4+b7>b5+b8D.b4+b7<b5+b812.数列{an}满足a1=12,an+1=1-1an,则a2016等于()A.12B.-1C.2D.3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13.已知x,y∈R,且x+y2,则x,y中至少有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为________.14.已知圆的方程是x2+y2=r2,则经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.类比上述性质,可以得到椭圆x2a2+y2b2=1类似的性质为________.15.若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1,x2,…,xn,总满足1n[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤fx1+x2+…+xnn,称函数f(x)为D上的凸函数;现已知f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数,则△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是________.16.如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n-2(n2)个图形中共有________个顶点.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题10分)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:b2-aca<3.18.(本小题12分)已知实数x,且有a=x2+12,b=2-x,c=x2-x+1,求证:a,b,c中至少有一个不小于1.19.(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.20.(本小题12分)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且其中任意两边长均不相等,若1a,1b,1c成等差数列.(1)比较ba与cb的大小,并证明你的结论;(2)求证:角B不可能是钝角.21.已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1.(1)设bn=an+1-2an(n=1,2,…),求证:数列{bn}是等比数列;(2)设cn=an2n(n=1,2,…),求证:数列{cn}是等差数列.22.通过计算可得下列等式:22-12=2×1+1;32-22=2×2+1;42-32=2×3+1;…(n+1)2-n2=2n+1.将以上各式两边分别相加,得(n+1)2-1=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=nn+12.类比上述方法,请你求出12+22+32+…+n2的值.答案1.解析:选B可导函数f(x),若f′(x0)=0且x0两侧导数值相反,则x=x0是函数f(x)的极值点,故选B.2.解析:选B由所给的等式可以根据规律猜想得:9(n-1)+n=10n-9.3.解析:选A由每一行中图形的形状及黑色图形的个数,则知A正确.4.解析:选C正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.5.解析:选C记an+bn=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4,f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.6.解析:选B要比较a与b的大小,由于c1,所以a0,b0,故只需比较1a与1b的大小即可,而1a=1c+1-c=c+1+c,1b=1c-c-1=c+c-1,显然1a1b,从而必有ab.7.解析:选C归纳“金鱼”图形的构成规律知,后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分,故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8,公差为6的等差数列,通项公式为an=6n+2.8.解析:选D该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5,…那么第10行的最后一个数为a100,第11行的第12个数为a112,即A(11,12)=13112.故选D.9.解析:选Cf(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=1,得f(2)=2f(1),令x=1,y=2,f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)⋮f(n)=nf(1),所以f(1)+f(2)+…+f(n)=(1+2+…+n)f(1)=nn+12f(1).所以A,D正确.又f(1)+f(2)+…+f(n)=f(1+2+…+n)=fnn+12,所以B也正确.故选C.10.解析:选B∵当n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33;∴归纳猜想Sn=n3,故选B.11.解析:选Ab5+b7-b4-b8=b4(q+q3-1-q4)=b4(q-1)(1-q3)=-b4(q-1)2(1+q+q2)=-b4(q-1)2q+122+34.∵bn>0,q>1,∴-b4(q-1)2·q+122+34<0,∴b4+b8>b5+b7.12.解析:选C∵a1=12,an+1=1-1an,∴a2=1-1a1=-1,a3=1-1a2=2,a4=1-1a3=12,a5=1-1a4=-1,a6=1-1a5=2,∴an+3k=an(n∈N*,k∈N*),∴a2016=a3+3×671=a3=2.13.解析:“至少有一个”的反面为“一个也没有”,即“x,y均不大于1”,亦即“x≤1且y≤1”.答案:x,y均不大于1(或者x≤1且y≤1)14.解析:圆的性质中,经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0,y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆x2a2+y2b2=1类似的性质为:过椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.答案:经过椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=115.解析:因为f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数(小前提),所以13(sinA+sinB+sinC)≤sinA+B+C3(结论),即sinA+sinB+sinC≤3sinπ3=332.因此,sinA+sinB+sinC的最大值是332.答案:33216.解析:设第n个图形中有an个顶点,则a1=3+3×3,a2=4+4×4,…,an=(n+2)+(n+2)·(n+2),an-2=n2+n.答案:n2+n17.证明:因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0.要证明原不等式成立,只需证明b2-ac<3a,即证b2-ac<3a2,从而只需证明(a+c)2-ac<3a2,即(a-c)(2a+c)>0,因为a-c>0,2a+c=a+c+a=a-b>0,所以(a-c)(2a+c)>0成立,故原不等式成立.18.证明:假设a,b,c都小于1,即a<1,b<1,c<1,则a+b+c<3.∵a+b+c=x2+12+(2-x)+(x2-x+1)=2x2-2x+72=2x-122+3,且x为实数,∴2x-122+3≥3,即a+b+c≥3,这与a+b+c<3矛盾.∴假设不成立,原命题成立.∴a,b,c中至少有一个不小于1.19.解:(1)选择(2)式,计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=1-14=34.(2)法一:三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=34.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°·cosα+sin30°sinα)=sin2α+34cos2α+32sinαcosα+14sin2α-32sinαcosα-12sin2α=34sin2α+34cos2α=34.法二:三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=34.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=1-cos2α2+1+cos60°-2α2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=12-12cos2α+12+12(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-32sinαcosα-12sin2α=12-12cos2α+12+14cos2α+34sin2α-34sin2α-14(1-cos2α)=1-14cos2α-14+14cos2α=34.20.解:(1)ba<c
本文标题:2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用:阶段质量检测(二) Word版含解析
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