2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1练习：第3章 导数及其应用3.1.3 Word版含解

第三章3.13.1.3A级基础巩固一、选择题1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是导学号03624674(C)A．在点x0处的斜率B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率[解析]由导数的几何意义可知函数y＝f(x)在x＝x0的导数f′(x0)，即为曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为导学号03624675(B)A．(－2，－8)B．(1,1)，(－1，－1)C．(2,8)D．(－12，－18)[解析]∵y＝x3，∴y′＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝limΔx→0Δx3＋3x·Δx2＋3x2·ΔxΔx＝limΔx→0(Δx2＋3x·Δx＋3x2)＝3x2.令3x2＝3，得x＝±1，∴点P的坐标为(1,1)，(－1，－1)．3．(2016·重庆一中高二月考)已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为导学号03624676(B)A．3,3B．3，－1C．－1,3D．－1，－1[解析]由已知得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故选B．4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为导学号03624677(A)A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2[解析]∵f′(x)＝limΔx→0Δx＋x3－2Δx＋x＋1－x3＋2x－1Δx＝limΔx→0Δx3＋3x·Δx2＋3x2·Δx－2ΔxΔx＝limΔx→0(Δx2＋3x·Δx＋3x2－2)＝3x2－2，∴f′(1)＝3－2＝1，∴切线的方程为y＝x－1.5．已知曲线f(x)＝12x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为导学号03624678(D)A．－2B．－1C．1D．2[解析]Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝12(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－12x2－2x＝x·Δx＋12(Δx)2＋2Δx，∴ΔyΔx＝x＋12Δx＋2，∴f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝x＋2.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋2.由已知x0＋2＝4，∴x0＝2，故选D．6．(2016·山东临沂一中高二检测)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是导学号03624679(B)A．0f′(2)f′(3)f(3)－f(2)B．0f′(3)f(3)－f(2)f′(2)C．0f′(3)f′(2)f(3)－f(2)D．0f(3)－f(2)f′(2)f′(3)[解析]从图象上可以看出f(x)在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0f′(3)f′(2)，此两点处的斜率f3－f23－2比f(x)在x＝2处的切线的斜率小，比f(x)在x＝3处的切线的斜率大，所以0f′(3)f(3)－f(2)f′(2)，故选B．二、填空题7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f′(2)＝__12__.导学号03624680[解析]f′(2)＝limΔx→02＋Δx3＋2－23－2Δx＝limΔx→02＋Δx－2[2＋Δx2＋2＋Δx·2＋22]Δx＝limΔx→0[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4]＝limΔx→0[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.8．设函数y＝f(x)，f′(x0)0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的范围是0，π2.导学号03624681[解析]由于f′(x0)0，说明y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角．三、解答题9．已知曲线方程为y＝x2，求过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程.导学号03624682[解析]∵f′(x)＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝limΔx→02Δx·x＋Δx2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，又点A(2,4)在曲线y＝x2上，∴f′(2)＝4，∴所求切线的斜率k＝4，故所求切线的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.B级素养提升一、选择题1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于导学号03624683(A)A．1B．12C．－12D．－1[解析]∵y′|x＝1＝limΔx→1a1＋Δx2－a×12Δx＝limΔx→02aΔx＋aΔx2Δx＝limΔx→0(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.2．(2016·天津南开中学检测)已知抛物线y＝f(x)＝x2与直线y＝2x＋b相切，若f′(x0)＝2，则x0＝导学号03624684(D)A．－1B．2C．－12D．1[解析]由y＝2x＋by＝x2消去y，得x2－2x－b＝0，①∵抛物线y＝x2与直线y＝2x＋b相切，∴Δ＝4＋4b＝0，解得b＝－1.此时，方程①的根为x＝1，∴切点坐标为(1,1)．由导数的几何意义得f′(1)＝2，∴x0＝1.3．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则ab为导学号03624685(D)A．23B．－23C．13D．－13[解析]由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×ab＝－1，∴ab＝－13.4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为导学号03624686(C)A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)或(－1，－4)D．(2,8)或(－1，－4)[解析]f′(x)＝limΔx→0x＋Δx3＋x＋Δx－2－x3＋x－2Δx＝limΔx→03x2＋1Δx＋3xΔx2＋Δx3Δx＝3x2＋1.由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，有f′(x0)＝3x20＋1＝4.解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)．5．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是0，π4，则点P横坐标的取值范围为导学号03624687(A)A．－1，－12B．[－1,0]C．[0,1]D．12，1[解析]设点P(x0，y0)，则f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0[x0＋Δx2＋2x0＋Δx＋3]－x20＋2x0＋3Δx＝limΔx→02x0Δx＋Δx2＋2ΔxΔx＝limΔx→0(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.结合导数的几何意义可知0≤2x0＋2≤1，解得－1≤x0≤－12，选A．二、填空题6．(2016·山东青岛期末)曲线f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的切线方程为__y＝2x__.导学号03624688[解析]设曲线f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的切线的斜率为k，则k＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→01＋Δx2＋1－12＋1Δx＝limΔx→02Δx＋Δx2Δx＝2.所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.7．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、x＝2所围成的三角形的面积为83.导学号03624689[解析]y′＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切线方程为y＝3x－2，它与x轴的交点为23，0，与x＝2的交点为(2,4)，所以S＝12×2－23×4＝83.三、解答题8．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．(1)求切点的坐标；(2)求a的值.导学号03624690[解析](1)设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点．f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1Δx＝3x2－2x.由题意知，k＝1，即3x20－2x0＝1，解得x0＝－13或x0＝1.当x0＝1时，y0＝1，此时a＝0(舍去)于是切点的坐标为－13，2327.(2)当切点为－13，2327时，2327＝－13＋a，a＝3227.∴a的值为3227.C级能力提高1．若抛物线y＝x2与直线2x＋y＋m＝0相切，则m＝__1__.导学号03624691[解析]设切点为P(x0，y0)，易知，y′|x＝x0＝2x0.由2x0＝－2y0＝x20，得x0＝－1y0＝1，即P(－1,1)，又P(－1,1)在直线2x＋y＋m＝0上，故2×(－1)＋1＋m＝0，即m＝1.2．已知曲线C：y＝1t－x经过点P(2，－1)，求(1)曲线在点P处的切线的斜率.导学号03624692(2)曲线在点P处的切线的方程．(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．[解析](1)将P(2，－1)代入y＝1t－x中得t＝1，∴y＝11－x.∴ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝11－x＋Δx－11－xΔx＝11－x－Δx1－x，∴limΔx→0ΔyΔx＝11－x2，∴曲线在点P处切线的斜率为k＝y′|x＝2＝11－22＝1.(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0.(3)∵点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k＝y0x0＝11－x02，由于y0＝11－x0，∴x0＝12，∴切点M(12，2)，切线斜率k＝4，切线方程为y－2＝4(x－12)，即y＝4x.