专题13-抛物线及其性质——2020年高考数学母题题源解密(山东、海南专版)(解析版)

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题13抛物线及其性质【母题题文】斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________．【答案】163【试题解析】∵抛物线的方程为24yx，∴抛物线的焦点F坐标为(1,0)F，又∵直线AB过焦点F且斜率为3，∴直线AB的方程为：3(1)yx代入抛物线方程消去y并化简得231030xx，解法一：解得121,33xx所以212116||1||13|3|33ABkxx解法二：10036640设1122(,),(,)AxyBxy，则12103xx,过,AB分别作准线1x的垂线，设垂足分别为,CD如图所示.12||||||||||11ABAFBFACBDxx1216+2=3xx原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2故答案为163.【命题意图】1．理解数形结合的思想．2．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．【命题方向】抛物线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以抛物线的定义、标准方程和焦点弦问题为主，考查数形结合的思想．【答题模板】1．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PFpx或2PFpy，使问题简化．2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论．特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程．3．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．【方法总结】1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．2．确定及应用抛物线性质的关键与技巧：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．3．抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解．4．有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是最小值．1．（2020·河南洛阳·高三月考）已知点P为抛物线C：220xpyp上一点，且点P到x轴的距离比它到焦点的距离小3，则p（）A．3B．6C．8D．12【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义可知点P到焦点的距离等于它到准线的距离，可得32p=，从而得出答案.【详解】由题得，抛物线的准线方程为2py，由抛物线的定义可知，点P到焦点的距离等于它到准线的距离，所以点P到x轴的距离比它到准线2py的距离小3，于是得32p=，所以6p=．故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.2．（2020·湖南雨花·雅礼中学高三月考）斜率为3的直线l过抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F，若l与圆22:(2)12Mxy相切，则p（）.A．12B．8C．10D．6【答案】A原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4【解析】【分析】首先根据题意直线l方程为32pyx，根据直线l与圆22:(2)12Mxy相切，得到3232232pd，再解方程即可.【详解】抛物线2:2(0)Cypxp的焦点,02p，设直线l方程为32pyx，即3302xyp，因为l与圆22:(2)12Mxy相切，所以圆心2,0到直线的距离为3232232pd，解得12p。故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，同时考查直线与圆的位置关系，属于简单题.3．（2020·山西运城·高三月考）已知抛物线21:4Cyx的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C上，且2AF，点P是抛物线C的准线上的一动点，则PAPO的最小值为（）.A．13B．213C．313D．26【答案】A【解析】【分析】求出A点坐标，做出O关于准线的对称点M，利用连点之间相对最短得出||AM为||||PAPO的最小值．【详解】解：抛物线的准线方程为1y，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5||2AF，A到准线的距离为2，故A点纵坐标为1，把1y代入抛物线方程可得2x．不妨设A在第一象限，则(2,1)A，点O关于准线1y的对称点为(0,2)M，连接AM，则||||POPM，于是||||||||||PAPOPAPMAM…故||||PAPO的最小值为22||2313AM．故选：A．【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，属于基础题．4．（2020·全国高三月考）已知抛物线1C：26yx上的点M到焦点F的距离为92，若点N在2C：()2221xy++=上，则点M到点N距离的最小值为（）A．261B．431C．331D．2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线焦半径得到3Mx，代入抛物线方程得到点坐标，再利用点到圆心的距离减去半径即为答案.【详解】依题意，3922MMFx，故3Mx，则632MMyx；由对称性，不妨设3,32M，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6故M到点N距离的最小值为2232321431.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的方程、几何性质，点到圆上点距离最小的问题.5．（2020·广东广州·高三月考）已知抛物线22ypx（0p）的准线与圆2240xyy相交所得的弦长为23，则p的值为（）A．12B．1C．2D．4【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线的准线方程，然后利用半弦长、半径和弦心距的关系建立方程求解p即可.【详解】抛物线22ypx（0p）的准线方程为2px，圆2240xyy的标准方程为2224xy，圆心坐标为0,2，半径为2，圆心到准线的距离为2p，所以有222322p，解得2p.故选：C.【点睛】本题考查抛物线，考查直线和圆的位置关系，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.6．（2020·江苏鼓楼·金陵中学高三月考）如图，过抛物线22ypx（0p）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若2BCBF，且6AF，则此抛物线方程为（）A．29yxB．26yxC．23yxD．23yx【答案】B【解析】【分析】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|=a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．【详解】如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设BFa，则由已知得2BCa，由抛物线定义得BDa，故30BCD.在RtACE中，因为6AEAF，63ACa，2AEAC，所以6312a，得2a，36FCa，所以132pFGFC，因此抛物线方程为26yx.故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．7．（2020·贵州贵阳·为明国际学校高三月考）已知点P为抛物线C：24yx上的一个动点，PM垂直C的准线，垂足为M，A点坐标为（7，8），则||||PAPM的最小值是（）A．7B．8C．9D．10【答案】D【解析】【分析】根据抛物线定义得||||PMPF,再根据三角形不等式关系确定最小值.【详解】设抛物线C：24yx焦点为F，则||||,(1,0)PMPFF所以22||||||||||(71)810PAPMPAPFAF原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8故选：D【点睛】本题考查利用抛物线定义求最值，考查数形结合思想方法，属基础题.8．（2020·全国高三开学考试）已知抛物线220ypxp的焦点为F，A为抛物线上一点，O为坐标原点，且2,2OAOF，则p（）A．4B．2C．2D．22【答案】B【解析】【分析】依题意可得,02pF，设00(,)Axy，根据2,2OAOF可得022px，02y，根据A为抛物线上一点，可得2p.【详解】依题意可得,02pF，设00(,)Axy，由2,2OAOF得00(,)(,0)(2,2)2pxy，所以022px，02y，所以022px，02y，因为A为抛物线上一点，所以222(2)2pp，解得2p.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量加法的坐标运算，考查了求抛物线方程，属于基础题.9．（2020·福建厦门一中月考）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若4PFFQ，则QF（）A．3B．52C．32D．32或52【答案】B【解析】【分析】设点1,Pt，利用4PFFQ求得点Q的横坐标，利用抛物线的定义可求得QF.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9【详解】抛物线C的焦点为1,0F，准线l的方程为1x.设点1,Pt、,Qxy，则2,PFt，1,FQxy，4PFFQ，可得412x，解得32x，由抛物线的定义可得35122QF.故选：B.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点Q的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10．（2020·广西南宁二中高三月考）已知P是抛物线2:2(0)Cypxp上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若||2PF，3PFO，则抛物线C的方程为（）A．26yxB．22yxC．2yxD．24yx【答案】A【解析】【分析】||2PF，3PFO，可求出P点的坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】过P向x轴作垂线，设垂足为Q，∵3PFO，||2PF，∴||3PQ，||1QF，(1,3)2pP，将P点的坐标代入22ypx，得3p，故C的方程为26yx.故选:A【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题.11．（2020·广东月考）已知抛物线220ypxp上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和22，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10则p的值可以是()A．2B．6C．4D．8【答案】AC【解析】【分析】由题意得32px，28px，解方程即可.【详解】设M的横坐标为x，由题意，32px，28px，解得2p或4p.故选：AC【点睛】本题考查抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.12．（2021·湖南湘潭·高三月考）设F是抛物线C：24yx的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．||4ABB．||||8OAOBC．若点(2,2)P，则||||PAAF的最小值是3D．OAB的面积的最小值是2【答案】ACD【解析】【分析】讨论直线l是否有斜率，分别计算|AB|和△OAB的面积或其范围，判断A，D，举特例判断B错误，根据抛物线性质和三点共线判断C．【详解】解：F（1，0），不妨设A在第一象限，（1）若直线l无斜率，则A（1，2），B（1，−2），则|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|OA|＝25，14122OABS，显然B错误；（2）若直线l存在斜率，原