大学课件-概率论与数理统计-随机变量的相互独立性

定义设(X,Y)是二维随机变量，F(x,y)及FX(x)、FY(y)分别是(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数，若对任意实数x、y有F(x,y)=FX(x)·FY(y)即{}{}{}yYPxXPyYxXP=,则称随机变量X、Y是相互独立。随机变量的相互独立性——将事件独立性推广到随机变量二维随机变量(X,Y)相互独立,则边缘分布完全确定联合分布二维离散随机变量(X,Y)相互独立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP=====即jiijppp••=二维连型随机变量(X,Y)相互独立.).()()(),(eayfxfyxfYX=二维连续随机变量(X,Y)相互独立)0)(()()(=yfyxfxfYYXX)0)(()()(=xfxyfyfXXYY二维随机变量(X,Y)相互独立,则边缘分布完全确定联合分布解表１有放回抽样的分布律Y11010Xijp254256256259∑=•jip5253∑=•ijp5253例1检验§4.4中例１有放回抽样和无放回抽样条件下，X、Y边缘分布的独立性。从表１知：pij=pi.pj.i,j=1,2所以，X，Y相互独立。Y11010Xijp∑=•jip5253∑=•ijp5253101103103103表２不放回抽样的分布从表２知：11115252101••=×≠=ppp所以，X，Y不相互独立。0=ρ2222212122222121212122)(22)(1)())((2)()1(212212121121σμσμσμσσμμρσμρσπσπρσπσ−−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−−−−−=−yxyyxxeee证对任何x,y有21,μμ==yx取);,;,(~),(222211ρσμσμNYX相互独立命题212212121121σπσπρσπσ=−故0=ρ将0=ρ代入),(yxf即得)()(),(yfxfyxfYX=例已知(X,Y)的联合概率密度为⎩⎨⎧=其他,010,10,4),(1yxxyyxf(1)⎩⎨⎧=其他,010,0,8),(2yyxxyyxf(2)讨论X,Y是否独立？解(1)由图知边缘密度函数为11⎩⎨⎧=其他,0,10,2)(xxxfX⎩⎨⎧=其他,0,10,2)(yyyfY显然，)()(),(1yfxfyxfYX=故X,Y相互独立(2)由图知边缘密度函数为⎩⎨⎧−=其他,0,10),1(4)(2xxxxfX⎩⎨⎧=其他,0,10,4)(3yyyfY显然，)()(),(2yfxfyxfYX≠故X,Y不独立11判断连续型二维随机变量相互独立的两个重要结论设f(x,y)是连续二维随机变量(X,Y)的联合密度函数,r(x),g(y)为非负可积函数,且.).()()(),(eaygxryxf=则(X,Y)相互独立且.).()()()(eadxxrxrxfX∫∞+∞−=.).()()()(eadyygygyfY∫∞+∞−=利用此结果,不需计算即可得出(1)中的随机变量X与Y是相互独立的.再如,服从矩形域{(x,y)|axb,cyd}上均匀分布的二维随机变量(X,Y),⎪⎩⎪⎨⎧−−=其他0,))((1),(dycbxacdabyxfX,Y是相互独立的.且其边缘分布也是均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧−=其他,0,1)(bxaabxfX⎪⎩⎪⎨⎧−=其他,0,1)(dyccdyfY若⎩⎨⎧=−−其他00,06),(32yxeyxfyx则X,Y是相互独立的,且其边缘分布为⎩⎨⎧=−其他,00,2)(2xexfxX⎩⎨⎧=−其他,00,3)(3yeyfyY若⎩⎨⎧−=−其他00,21),(3yxeyxfy则X,Y是相互独立的,且其边缘分布为⎪⎩⎪⎨⎧−=其他,021,31)(xxfX⎩⎨⎧=−其他,00,3)(3yeyfyY对于分布函数也有类似结果设F(x,y)是二维连续随机变量(X,Y)的联合分布函数,则(X,Y)相互独立的充要条件为)()(),(yGxRyxF=且)()()(+∞=RxRxFX)()()(+∞=GyGyFY设X,Y为相互独立的随机变量,u(x),v(y)为连续函数,则U=u(X),V=v(Y)也相互独立.事实上,设X与Y的密度函数分别为fX(x),fY(y),则)()(),(yfxfyxfYX=因此，),(),(vVuUPvuFUV=))(,)((vYvuXuP=∫∫≤≤=vyvuxuYXdxdyyfxf)()()()(∫∫≤≤=vyvYuxuXdyyfdxxf)()()()())(())((vYvPuXuP=)()(vFuFVU=相互独立的概念可以推广到多于两个随机变量的情形。(1)n个随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，就是说，对任意个实数x1,x2,…,xn有{}{}{}{}nnnnxXPxXPxXPxXxXxXP=LL22112211,,,(2)一系列随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，就是指，对于任意有限个自然数k1,k2,…,kn有Xk1,Xk2(3),…,Xkn相互独立；定理１和定理２也可以推广到多于两个随机变量的情形。若两个随机变量相互独立,且又有相同分布,不能说这两个随机变量相等.如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互独立，则X-11-110.250.25Ypij0.250.25P(X=Y)=0.5,故不能说X=Y.注意