华南理工大学高等数学 微积分自测卷2

1《微积分（下）》自测试卷2（时间120分钟，总分100）学院（系）专业班姓名：成绩报告表序号：一、填空题1．[3分]已知级数1(2)nnu收敛，则sinlimnnnuu2．[3分]幂级数1211nnnxn的收敛域为3．[3分]若22,ln1fxyxy，则1,1df4．[3分]二元函数3322339zxyxyx的极小值点为5．[3分]二重积分,Dfxydxdy在极坐标下的二次积分为2sin00cos,sindfrrdr，则积分区域D在直角坐标系中可表示为6、[3分]若fx满足方程02xftdtfx，则fx二、计算1、[4分]设2yxzfxy，求,zzxy2、[6分]设2xyxyzxyftdt，其中ft可导，求2,zdzxy3、[7分]求函数22,2xfxyexyy的极值4、[7分]计算二重积分Dxydxdy，D为22(2)1xy5、[6分]求幂级数21(2)1nnxn的收敛半径及收敛域6、[7分]设1111nnnxxuxxnn，求1nnux的和函数27、[6分]将函数21ln1fxx展开为x的幂级数，并求出其收敛域8、[6分]求微分方程30yyxy的通解9、[7分]利用代换cosuyx将方程cos2sin3cosxyxyxyxe化简，并求出原方程的通解10、[8分]设ft函数在[0,)上连续，且满足方程222242241()2txytftefxydxdy，求fx三、证明题1、[5分]设函数yxzxy，求证：lnzzxyxyzzxy2、[6分]求证：原点到曲面221xyz上的点的最短距离为223、[7分]设01,2,nan单调，且级数11nna收敛，证明：级数112nnnaaa收敛参考答案及提示一、223110;[,);;1,0;2;2223xdxdyxyye二、2221,yxxffxyxyy22212,xxffxyyy；22,2xyfxyyfxydxxfxyxfxydyxfxyfxyxyfxy；极小值为13111,1;;,,;11;228222efSxxx12cos24,2sincos5cosxxxeuueyccxxx2222442402,88,412ttttrftefrdrfttetftftte3三、1、2略，3、提示：122222,nnnnnaaanaa，1221212(1)2,(1)nnnnnaaanaa由12nna收敛知112nnnaaa收敛