上海交通大学高数期末考试试卷及答案

2013-2014学年《高等数学》第一学期期末考试解答(A类)一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.已知直线1l：21123xyz、2l：3112xtytzt及平面：27430xyz，则()(A)1//l；(B)1l；(C)2//l；(D)12ll。【解】1(1,2,3)s，2(3,1,2)s，(2,7,4)n，1(1,2,3)(2,7,4)214120sn，答案：A。2.当x大时，11exx是无穷小1x的()(A)高阶无穷小；(B)低阶无穷小；(C)等价无穷小；(D)同阶但非等价无穷小。【解】11ln(1)ln(1)111(1)xxxxxeeeeex1[ln(1)1]exx221111[(()(())1]2exoxxx1111[()]22eeoxxx，答案：D。1ln10111eelimlim1xttxttexxtx2001ln11ln1limlimtttttteett0111lim22tetet，答案：D。3.曲线exy与该曲线过原点的切线及y轴所围成的平面图形的面积为()(A)10(lnln)dyyyy；(B)10(ee)dxxx；(C)e1(lnln)dyyyy；(D)e0(ee)dxxx。【分析】面积：0()axAedx切线，答案在B，D中，(B)(D)：ke，切点：1x，(B)OK,答案：B。【解】切线：ee()xxYXx过(,)(0.0)XY，得1x，切线：yex，设切线：ykx，则xxekxek相交相切1,xke，切点：(1,)e,面积：10()xAeexdx.答案：B。4.以下可以看作是某个二阶微分方程通解的是()(A)2123yCxCxC；(B)222xyC；(C)2212sincosyCxCx；(D)12lnlnyCxCx。【解】通解含二个独立任意常数，（A）（B）错，（D）：212lnln()yCxCxCx，错答案：C。5.设在[,]ab上,()0fx,'()0fx,()0fx,则()(A)()d1[()()]()2bafxxfafbfaba；(B)()d1[()()]()2bafxxfafbfbba；(C)()d1()[()()]2bafxxfafafbba；(D)()d1()[()()]2bafxxfbfafbba。【解】图解：'()0fx,()0fxf，()fb函数(高度)均值弦的(高度)均值答案：D。二、填空题(每小题3分，共15分)6.设()yyx是由方程e1yxyx确定的隐函数，则220ddxyx_______。【解】（1）(0)0y；（2）()e1yyxyy，(0)1y；（3）2()(ee)0yyyyxyyy，(0)y37.若反常积分2d(ln)axxx发散,则常数a的取值范围是：___。【解】,18.微分方程22yxdyydxyedy的通解为：________。【解】方程22yydxxdyedyy()(2)yxddey通解：2yxeCy.方程12ydxxyedyy11[2]dydyyyyxeyeedyC1[2](2)yyyyedyCyCey通解：(2)yxyCe.9.已知单位向量a、b和c满足0abc，则abbcca_________。【解】0()()32()abcabcabbccaabbcca3210.点4,3,1A在平面230xyz上投影点的坐标是____________：。【解】投影点P,PAL:4,32,1xtytzt,交点P满足：(4)2(23)(1)30ttt1t，投影点P5,1,0。三、(本题8分)11.已知函数22ed,0()0,xtxtxfxxxa在0x可导。(1)求a的值；(2)求'(0)f。解(1)220limxtxxedtax2240lim2xxxee1；(2)2201'(0)lim[1]xtxxedtfxx2220limxtxxedtxx224021lim02xxxeex。四、计算积分(每小题8分，共24分)12.计算不定积分21122dxxxx。解22111122122xdxdxxxxxxx21ln1ln222xxxC。13.计算定积分130arcsindxx。解令3arcsinxt，则3sindxdt，13200arcsindsinxxtdt332200sinsintttdt223。14.计算定积分ln2201edxx。解令sinxet，则cosxedxtdt，所以ln22602cos1edcossinxtdtxtt222661sincscsinsintdtttdtt263lncsccotcosln232ttt。五、(本题10分)15.找出常数a的取值，使得axe是微分方程(1)240xyxyy的解，并求上述微分方程的通解。解2124axaxaxxaexaee22240axeaaxa2a。方程24'''011xyyyxx由刘维尔公式得另一个解：2241xdxxxxyeeedx22421xxxeeexdx222(1)2(1)122144xxxx，原方程的通解：2212221xyCeCxx。设另一个解：2yAxBxC，则22(1)2(2)4()0AxxAxBAxBxC，(22)240ABxAC,2BAAC，取1C，得2,2AB，原方程的通解：2212221xyCeCxx。六、(每小题10分，共20分)16.已知直线1l和2l的方程分别是11112xyz，12134xyz。(1)验证1l和2l是异面直线；(2)求z轴上的点P，使得过P的任何一条直线l与1l和2l不同时相交。解(1)112134201111l，2l异面(2)记1为过P，1l的平面，当21//l时，则若直线L过P与1l相交，则L与2l不相交。1：1210xyyz21//l(1,3,4)(1,21,)011：20xyz，与z轴的交点：0,0,2P；同理：2：31(42)0xyxz12134xyz12//l(1,1,2)(34,1,)012：30xyz，与z轴的交点：0,0,3P.17.设曲边梯形由曲线1yxx(0x)与直线0y,xa和1xa围成(其中0a)，问：a为何值时，曲边梯形绕x轴旋转所得的旋转体体积达到最小，最小值是多少?解1121()aaVaxdxx3111(2)|3aaxxx211[2]3(1)aaaa133当11aa，即152a时，得到最小值：min133V。解2121()aaVaxdxx2211'[(1)()]1Vaaaaa222211[(1)](1)aaaa1l1l2P2221[21](1)aaaa2222(1)(1)(21)0(1)aaaaaaa,152a.当5102a时，'0Va；当512a时，'0Va；所以最小值在512a时取到。21min1111312313aaVxdxaaxaa。七、证明题(本题8分)18.设在[1,1]上连续的函数()fx满足如下条件：对[1,1]上任意的连续偶函数()gx，11()()d0fxgxx，试证明：()fx是[1,1]上的奇函数。证11111()()dfxgxxftgtdt11fxgxdx111[()()]()2fxfxgxdx，11()()d=0fxfxgxx。取gxfxfx(偶函数)，得到211()d=0fxfxx，从而()0fxfx（[1,1]x），()fx是奇函数。证2令()()()fxxx(偶函数＋奇函数)取()gxx(偶函数)，得到：11211()()d()d0xxxxxx，从而()0x，()()fxx([1,1]x)为奇函数。