矩阵指数函数

摘要矩阵函数是矩阵论中的重要一部分内容，而矩阵函数中的一个重要函数就是矩阵指数函数，它在自控理论和微分方程中有广泛的应用，因而引起特别的光注．本文首先总结了矩阵指数函数的一些基本性质，进而讨论了矩阵指数函数的计算方法，本文选择了其中的三种方法，并且举例说明它们的计算量，对它们进行了简单的比较，分析这三种方法的优缺点．最后阐述矩阵指数函数在微分方程中求解的应用．   关键词：矩阵指数函数；Jordon标准形；微分方程组ABSTRACTMatrixfunctionsconstituteanimportantpartoftheMatrixtheory.Amongthemthematrixexponentialfunctionisthemostimportantone,ithaswideapplicationsinmanyfieldssuchascontroltheoryandtheoryofdifferentialequations.Inthispaper,wefirstsummarizethebasicpropertiesofthematrixexponentialfunctions.Then,weintroduceandreviewthreecomputationalmethodsandpointouttheiradvantagesanddisadvantages.Finally,thematrixexponentialfunctionsareappliedtosolveordinarydifferentialequations.Keywords:matrixexponentialfunction;Jordoncanonicalform;differentialequations.目录1绪论………………………………………………………………………………………1  1.1矩阵的发展与历史…………………………………………………………………11.2本文所做的工作……………………………………………………………………22矩阵函数的定义及矩阵指数函数的性质………………………………………………22.1矩阵函数定义………………………………………………………………………22.2矩阵指数函数的性质………………………………………………………………43矩阵指数函数的三种计算方法…………………………………………………………83.1第一种方法…………………………………………………………………………83.2第二种方法…………………………………………………………………………123.3第三种方法…………………………………………………………………………163.4三种方法的比较……………………………………………………………………194矩阵指数函数的应用…………………………………………………………………204.1微分方程中的应用………………………………………………………………20参考文献…………………………………………………………………………………24致谢………………………………………………………………………………………25 中国矿业大学（北京）2011届本科生毕业设计（论文） 1 1 绪论  1.1 矩阵的发展与历史矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，矩阵是指纵横排列的数据表格，最早来自方程组的系数及常数所构成的方阵．  矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具．“矩阵” 这个词是由希尔维斯特(Sylvester)首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语．但英国数学家凯莱(Cayley)一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章．实际上矩阵一开始是从行列式的大量工作中表现出来的，行列式对应的方阵本身就可以做大量的研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立的．逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反． 1858年，凯莱(Cayley)发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论．文中定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列概念，并给出了矩阵加法的可交换性与可结合性．另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及矩阵的一些基本结果．在矩阵论的发展历史上，弗洛伯纽斯(Frobenius)的贡献是不可磨灭的，他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子中国矿业大学（北京）2011届本科生毕业设计（论文） 2 的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质．1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题．1892年，梅茨勒(Metzler)引进了矩阵函数的概念并将其写成矩阵的幂级数形式．傅立叶(Fourier)和庞加莱(Poincare)还讨论了无限阶矩阵问题．现在矩阵经过两个多世纪的发展，已成为一门数学分支——矩阵论。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有广泛的应用． 1.2 本文所做工作 矩阵函数是矩阵理论的重要内容，矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，是研究其他矩阵函数的基础．本文讨论的是矩阵函数中的一类函数——矩阵指数函数，阐述它的定义、一般基本性质、几种计算方法及这几种方法的比较，同时阐述一下矩阵指数函数的一些应用．  中国矿业大学（北京）2011届本科生毕业设计（论文） 3 2矩阵函数定义及矩阵指数函数的性质2.1矩阵函数定义定义2.1.1 给定矩阵,如果多项式 pλαλαλαλα 满足p0，则称pλ是的化零多项式． 定义2.1.2 在的化零多项式中，次数最低且首项系数为1的化零多项式称为的最小多项式，记为． 根据代数基本定理，在复数域上可以证明： 性质2.1.3 设 , λ,λ,…λ为的r个互不相同的特征值，ΨAλ为 其最小多项式且有 ΨAλλ λ λ λ …λ λ ， 其中 d1i1,2…,r,∑dm． 如果函数fx具有足够多阶的导数值，并且下列m个值(称f(x)在影谱上的值) f λ ,f‘ λ , … , fλ,   i1,2,… ,r 存在，则称函数fx在矩阵的谱影上有定义[1]． 一个函数可能在给定矩阵的谱上没有定义． 中国矿业大学（北京）2011届本科生毕业设计（论文） 4 例如                     fx． 若 A836320422 ,    B310121013， 与的最小多项式分别为 Ψλλ2λ1 ,   Ψλλ1λ3λ4． 因为f2 ,f1 ,f’1 , 故fx在的影谱上有定义。而f3)无意义，故fx在的影谱上无定义． 定理2.1.1 [1] 设pλ与qλ为两个不同的多项式，为n阶矩阵，则pq的充分必要条件pλ与qλ在的影谱上的值对应相等，即 pλqλ ， i1,2,…,s;k0,1,2,…,d1．      借助于矩阵多项式，下面给出矩阵函数的定义． 定义2.1.4 设函数fx在n阶矩阵的影谱上有定义，即 fλ        j1,2,…,s;k0,1,2,…,d1 是确定的值．若pλ为一多项式，且满足 fλpλ    i1,2,…,s;k0,1,2,…,d1， 则矩阵函数f定义为fp． 中国矿业大学（北京）2011届本科生毕业设计（论文） 5 2.2矩阵指数函数的性质定理 2.2.1 [1] 设，的谱半径为ρ，若函数fx的幂级数表示式为fxcx                |x|ρ， 则当ρ∞时 fc． 根据定理2.2.1可以得到一系列矩阵函数的幂级数表示式，如 e12!1n!； sin13!15!112n1!； cos12!14!112n!． 定理2.2.2 [1] 设,，则 (1) eeµeµ，λ,µ； (2) ecosi sin ，i√1； (3) 当时，有 eeeee； 中国矿业大学（北京）2011届本科生毕业设计（论文） 6 (4) 对于任何矩阵，e总是可逆的，并且ee； (5) eee； (6) det ee   ,其中ααα是的迹． 证明  (1) 由定理2.1.1 知 eµλµk!                                  ∑!∑Cλλ． 若命kml，则 eµCλµ1lm!， 但由于C!! !，于是有 eµλm!λl!eeµ． 反之亦然． (2) 由定理2.1.1 知 eik!                               i!!i! 中国矿业大学（北京）2011届本科生毕业设计（论文） 7                         !!i! !                            cosi sin． (3) 因为当时，二项式公式 C 成立，因此 e1k!                                                                   1k!C． 由证明(1)过程中知上式右端可写成 m!l!或m!l!， 故                           eeeee．  (4) 因为矩阵指数函数e，由(1)得 eee， 故                        ee． 中国矿业大学（北京）2011届本科生毕业设计（论文） 8 (5) 因为矩阵指数函数的幂级数表示式对给定与对一切t都是绝对收敛的．而且对t是一致收敛，所以 ddteddttk!ktk1!                                                           tl!tl!                                                           eeA．  (6) 设diag,,…,，其中是的Jordan标准型，则 ediage,e,,…,e,， 112!(1)!iiiiiiiiiiiiddeeeedeeeeellllllll´éùêúêú-êúêúêú=êúêúêúêúêúëû%%#%j， 所以 det edetdetdiage,e,,…,e,det                                            det e det e…det e                                           ee…ee                                           e． 中国矿业大学（北京）2011届本科生毕业设计（论文） 9 3矩阵指数函数的三种计算方法    矩阵指数函数的计算方法有很多种，本章主要研究了其中的三种．这三种方法各有不同，其中涉及到微分方程的求解、Jordan标准型、特征多项式等知识． 3.1第一种方法  本节讨论的这种方法主要运用到了Hamilton‐Cayley定理和定理3.1.2，通过定理3.1.2可知e是一个初值条件的微分方程的解，通过求解这个微分方程来计算e． 定理3.1.1 (Hamilton‐Cayley定理) [2]  n阶方阵A的特征多项式 cλdetλ                                                                λtrλ1det 是的化零多项式，即c． 定理3.1.2 [3]  设n阶方阵的特征多项式是 cλdetλ                                           λcλcλc． 当Dddt⁄时，矩阵指数函数e的每个元素都满足n阶线性微分方程cDy0，并且Φte是n阶矩阵线性微分方程 中国矿业大学（北京）2011届本科生毕业设计（论文） 10 ΦcΦcΦcΦ0        (1) Φ0, Φ0,…,Φ0