考研数学-基础笔记-汤家凤概率统计

1Αα阿尔法alfaΒβ贝塔bitaΓγ伽马gamaΔδ德耳塔dêltaΕε艾普西龙êpsilonΖζ截塔zitaΗη艾塔yitaΘθ西塔sitaΙι约塔yotaΚκ卡帕kapa∧λ兰布达lamdaΜμ米尤miuΝν纽niuΞξ克西ksaiΟο奥密克戎oumikelong∏π派paiΡρ若rou∑σ西格马sigmaΤτ套taoΦφ斐faiΧχ喜haiΥυ宇普西龙yupsilon2Ψψ普西psaiΩω欧米伽omiga3第一章概率论的基本概念§1.1随机试验E–试验：1.相同条件下可重复进行2.结果多样的，实验前所有可能的结果是确定的3.实验前不确定具体的结果若E满足1~3，称E为随机试验§1.2样本空间、随机事件一、样本空间E为随机试验，E的所有可能基本结果组成的集合，称为E的样本空间，记为S。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点.例：抛筛子S={1,2,3,4,5,6}A={2,4,6}S、A都为结果，但A不是基本结果二、随机事件试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。在每次实验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.S∈S，S称为必然事件.4∅∈S，∅称为不可能事件.三、事件间的关系与事件的运算(一)关系𝐴⊂𝐵若𝐴⊂𝐵，则称事件A包含于事件B，事件A发生必导致事件B发生.若𝐴⊂𝐵且B⊂𝐴，则称事件A与事件B相等.𝐴∪𝐵事件𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥⊂𝐴或𝑥⊂𝐵}称为事件A与事件B的和事件.当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件𝐴∪𝐵发生.类似地，称⋃Aknk=1为可列个事件A1，A2，…，An的和事件𝐴∩𝐵事件𝐴∩𝐵={𝑥|𝑥⊂𝐴且𝑥⊂𝐵}称为事件A与事件B的积事件.当且仅当A，B同时发生时，事件𝐴∩𝐵发生，也记作AB.类似地，称⋂Aknk=1为可列个事件A1，A2，…，An的积事件5𝐴−𝐵事件𝐴−𝐵={𝑥|𝑥∈𝐴且𝑥∉B}称为事件A与事件B的差事件.当且仅当A发生，B不发生时事件𝐴−𝐵发生.𝐴∩𝐵=∅称事件A与B是互不相容的，或互斥的𝐵∪𝐵̅=𝑆𝐵∩𝐵̅=∅若𝐴∪𝐵=𝑆且𝐴∩𝐵=∅，则称事件A与B互为逆事件.又称事件A与B互为对立事件.事件A、B中必有一个发生且仅有一个发生A的对立事件记为𝐴̅.𝐴̅=𝑆−𝐴.(二)计算1)交换律6𝐴∪𝐵=𝐵∪𝐴；𝐴∩𝐵=𝐵∩𝐴.2)结合律𝐴∪(𝐵∪𝐶)=(𝐴∪𝐵)∪𝐶;𝐴∩(𝐵∩𝐶)=(𝐴∩𝐵)∩𝐶.3)分配律𝐴∪(𝐵∩𝐶)=(𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶);𝐴∩(𝐵∪𝐶)=(𝐴∩𝐵)∪(𝐴∩𝐶).4)德摩根律𝐴∪𝐵̅̅̅̅̅̅̅=𝐴̅∩𝐵̅；𝐴∩𝐵̅̅̅̅̅̅̅=𝐴̅∪𝐵̅.§1.3频率与概率一、频率定义在相同的条件下，进行n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数𝑛𝐴称为事件A发送的频数，比值𝑛𝐴𝑛称为事件A发生的频率，并记为𝑓𝑛(𝐴).由定义，得下述基本性质1)0≤𝑓𝑛(𝐴)≤1；2)𝑓𝑛(𝑆)=1；3)若A1，A2，…，Ak是两个互不相容的事件，则𝑓𝑛(𝐴1∪𝐴2∪…∪𝐴𝑘)=𝑓𝑛(𝐴1)+𝑓𝑛(𝐴2)+⋯+𝑓𝑛(𝐴𝑘)7二、概率量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃P–possibility可能性定义设E是随机事件，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为𝑃(𝐴),称为事件A的概率，如果集合函数𝑃(·)满足下列条件：1)非负性：∀𝐴∈𝑆，𝑃(𝐴)≥0；2)规范性：对于必然事件S，有𝑃(𝑆)=1;3)可列可加性：设𝐴1,𝐴2,…是两两互斥的事件，即对于𝐴𝑖𝐴𝑗=∅，𝑖≠𝑗，𝑖,𝑗=1,2,…，有𝑃(𝐴1∪𝐴2∪…)=𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)+⋯三、概率基本性质1.𝑃(∅)=0证：取𝐴𝑛=∅(𝑛=1,2,…)𝐴1,𝐴2,…两两互斥由𝑃(𝐴1∪𝐴2∪…)=𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)+⋯即𝑃(∅)=𝑃(∅)+𝑃(∅)+⋯∴𝑃(∅)=02.（有限可加性）设𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛是两两互斥，则𝑃(𝐴1∪…∪𝐴𝑛)=𝑃(𝐴1)+⋯+𝑃(𝐴𝑛)证：令𝐴𝑛+1=𝐴𝑛+2=⋯=∅8𝐴1,…,𝐴𝑛,…两两互斥由𝑃(𝐴1∪…∪𝐴𝑛∪…)=𝑃(𝐴1)+⋯+𝑃(𝐴𝑛)+⋯得𝑃(𝐴1∪…∪𝐴𝑛)=𝑃(𝐴1)+⋯+𝑃(𝐴𝑛)3.（逆事件的概率）𝑃(𝐴̅)=1−𝑃(𝐴)证：𝐴,𝐴̅互斥=𝑃(𝐴+𝐴̅)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐴̅)∵𝐴+𝐴̅=𝑆∴𝑃(𝐴)+𝑃(𝐴̅)=1=𝑃(𝐴̅)=1−𝑃(𝐴)4.（减法公式）𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴𝐵)证：∵𝐴=(𝐴−𝐵)+𝐴𝐵且𝐴−𝐵与𝐴𝐵互斥∴𝑃(𝐴)=𝑃[(𝐴−𝐵)+𝐴𝐵]=𝑃(𝐴−𝐵)+𝑃(𝐴𝐵)∴𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴𝐵)5.（加法公式）𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)证：∵𝐴+𝐵=(𝐴−𝐵)+𝐴𝐵+(𝐵−𝐴)且𝐴−𝐵、𝐴𝐵、𝐵−𝐴两两互斥∴𝑃(𝐴+𝐵)=𝑃(𝐴−𝐵)+𝑃(𝐴𝐵)+𝑃(𝐵−𝐴)∵𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵−𝐴)=𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)∴𝑃(𝐴+𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)附：𝑃(𝐴+𝐵+𝐶)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)+𝑃(𝐶)−𝑃(𝐴𝐵)−𝑃(𝐵𝐶)−𝑃(𝐴𝐶)+𝑃(𝐴𝐵𝐶)910§1.4等可能概型（古典概型）随机实验𝐸1，𝐸5，满足：1)实验的样本空间只包含有限个元素；2)实验中每个基本事件发生的可能性相同则这种实验称为等可能概型（古典概型）若事件A包含k个基本事件，则有𝑃(𝐴)=𝐴包含的基本事件数𝑆中基本事件的总数=𝑘𝑛例2一个口袋有6只球，其中4只白球，2只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只，考虑两种取球方式：a)第一次取一只球，再放回（放回抽样）b)第一次取一只球，不返回（不放回抽样）求：1)两只都是白球的概率2)两只同色的概率3)至少有一只是白球的概率解：设A表示事件“取到的两只都是白球”，B表示事件“取到的两只都是红球”，11C表示事件“取到的两只球中至少有一只是白球”（a）放回抽样的情况𝑃(𝐴)=4×46×6=49𝑃(𝐵)=2×26×6=19𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)=49+19−0=59𝑃(𝐶)=𝑃(𝐵̅)=1−𝑃(𝐵)=1−19=89（b）放回抽样的情况𝑃(𝐴)=4×36×5=615𝑃(𝐵)=2×16×5=115𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)=615+115−0=715𝑃(𝐶)=𝑃(𝐵̅)=1−𝑃(𝐵)=1−115=1415§1.5条件概率一、条件概率定义设A，B是两个事件，且𝑃(𝐵|𝐴)0，称𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)为事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率。例：6{4个白球2个红球不放回A：第一次取白球12B：第二次取红球𝑃(𝐴)=46，𝑃(𝐴𝐵)=46×25𝑃(𝐵|𝐴)=25Notes：条件概率𝑃(·|𝐴)符合概率定义中的三个条件（非负性、规范性、可列可加性）1)𝑃(𝐴−𝐵|𝐶)=𝑃(𝐴|𝐶)−𝑃(𝐴𝐵|𝐶)2)𝑃(𝐴+𝐵|𝐶)=𝑃(𝐴|𝐶)+𝑃(𝐵|𝐶)−𝑃(𝐴𝐵|𝐶)3)𝑃(𝐴̅|𝐶)=1−𝑃(𝐴|𝐶)二、乘法定理1.设𝑃(𝐴)0，则有𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)2.设𝑃(𝐴1)0，𝑃(𝐴1𝐴2)0，…，𝑃(𝐴1…𝐴𝑛−1)0，则𝑃(𝐴1𝐴2…𝐴𝑛)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴1|𝐴1)𝑃(𝐴3|𝐴1𝐴1)…𝑃(𝐴𝑛|𝐴1𝐴2…𝐴𝑛−1)三、全概率公式和Bayes公式(一)完备事件组S为样本空间，𝐴1,𝐴1,…,𝐴𝑛为时间，若1)𝐴1,𝐴1,…,𝐴𝑛互斥2)𝐴1,𝐴1,…,𝐴𝑛=𝑆(二)全概率公式*设𝐴1,𝐴1,…,𝐴𝑛为完备组，𝛺为样本空间13∀𝐵⊂𝑆，𝐵=𝛺𝐵=(𝐴1+𝐴1+⋯+𝐴𝑛)𝐵=𝐴1𝐵+𝐴1𝐵+⋯+𝐴𝑛𝐵∵𝐴1𝐵⊂𝐴1,…,𝐴𝑛𝐵⊂𝐴𝑛又∵𝐴1,𝐴1,…,𝐴𝑛互斥∴𝐴1𝐵,𝐴1𝐵,…,𝐴𝑛𝐵互斥∴𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1𝐵)+𝑃(𝐴1𝐵)+⋯+𝑃(𝐴𝑛𝐵)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)+𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)+⋯+𝑃(𝐴𝑛)𝑃(𝐵|𝐴𝑛)即𝑃(𝐵)=∑𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑛𝑖=1例1：口袋有12球，有8个红，4个白的，每次取一球，不放回，不看颜色（看颜色结果已发生，再问第二次的结果就是条件概率）.1)求第二次取红球的概率；2)设第二次取红球，求第一次取白球的概率；解：第一阶段：（建立完备事件组）𝐴1={第一次取红}，𝐴2={第一次取白}𝑃(𝐴1)=812𝑃(𝐴2)=412第二阶段（某一个结果）：𝐵={第二次取红}𝑃(𝐵|𝐴1)=71114𝑃(𝐵|𝐴2)=811第三阶段（解出结果）：题①，解：𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)+𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)=(812×711)+(412×811)=812题②，解：𝑃(𝐴2|𝐵)=𝑃(𝐴2𝐵)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)𝑃(𝐵)=412×811812=411例2：甲、乙、丙厂提供产品，比例60%，30%，10%，次品率是5%，7%，12%.1)求次品率；2)取次品，是甲厂的可能性解：第一阶段：（建立完备事件组）𝐴1={甲厂产品}，𝐴2={乙厂产品}，𝐴3={丙厂产品}𝑃(𝐴1)=0.6，𝑃(𝐴2)=0.3，𝑃(𝐴3)=0.1第二阶段（某一个结果）：𝐵={次品}𝑃(𝐵|𝐴1)=0.05，𝑃(𝐵|𝐴2)=0.07，𝑃(𝐵|𝐴2)=0.12第三步（解出结果）：题①，解：𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)+𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)+𝑃(𝐴3)𝑃(𝐵|𝐴3)=0.6×0.05+0.3×0.07+0.1×0.12=0.063=6.3%题②，解：15𝑃(𝐴1|𝐵)=𝑃(𝐴1𝐵)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)𝑃(𝐵)=0.6×0.050.063(三)贝叶斯（Bayes）公式𝑃(𝐴𝑘|𝐵)=𝑃(𝐴𝑘𝐵)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴𝑘)𝑃(𝐵|𝐴𝑘)∑𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑛𝑖=1Notes：如果问第二阶段某一个结果，则用全概率公式如果问第一阶段哪一步发生，则用Bayes公式16§1.6独立性定义1设A，B是两个事件，如果满足等式𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)则称事件A，B相互独立，简称A，B独立.①{𝐴,𝐵𝐴,𝐵̅𝐴̅,𝐵𝐴̅,𝐵̅，一对独立则其余独立②𝑃(𝐴)=0或𝑃(𝐴)=1=𝐴,𝐵独立定义2设A，B，C是三个事件，如果满足等式（必须是4个）：{𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐵𝐶)=𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)𝑃(