山东省泰安市2016届高三上期末数学试卷(文)含答案解析

2015-2016学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}2．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a3=10，a1a3=16，则a12等于（）A．25B．30C．35D．403．已知p：0＜a＜4，q：函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β5．一元二次不等式﹣x2+4x+12＞0的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，5）C．（6，+∞）D．（﹣2，6）6．函数f（x）=2x﹣6+lnx的零点所在的区间（）A．（1，2）B．（3，4）C．（2，3）D．（4，5）7．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△MNF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．8．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．9．已知函数，其图象与直线y=﹣2相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对于任意的恒成立，则φ的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若tanα=，则=．12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．14．方程x2﹣1=ln|x|恰有4个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=．15．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且asinB﹣bcosA=0（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）证明：AE⊥面ECD．18．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2=6，S4=30，n∈N*，数列{bn}满足bn•bn+1=an，b1=1（I）求an，bn；（Ⅱ）求数列{bn}的前2n项和T2n．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB是以A为顶点，AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到AC边的距离为2Km，另外两边AC、BC的长度分别为8Km，2Km．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．求科技园区面积的最大值．20．已知椭圆C：的右顶点A（2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k1（k1≠0）的直线l于椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于M，N两点，线段MN的中点为P，记直线PB的斜率为k2，求证：k1•k2为定值．21．已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）在点（1，f（1））处切线方程为y=2x﹣1（I）求a的值（Ⅱ）若﹣≤k≤2，证明：当x＞1时，（Ⅲ）若k＞2且k∈z，对任意实数x＞1恒成立，求k的最大值．2015-2016学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，∵CUA={4，6，7，8}，∴（CUA）∩B={4，6}．故选B．2．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a3=10，a1a3=16，则a12等于（）A．25B．30C．35D．40【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a1＜a3，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两个根，解方程x2﹣10x+16=0，得a1=2，a3=8，由此求出公差，从而能求出a12．【解答】解：∵{an}是公差为正数的等差数列，a1+a3=10，a1a3=16，∴a1＜a3，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两个根，解方程x2﹣10x+16=0，得a1=2，a3=8，∴2+2d=8，解得d=3，∴a12=a1+11d=2+11×3=35．故选：C．3．已知p：0＜a＜4，q：函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．5．一元二次不等式﹣x2+4x+12＞0的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，5）C．（6，+∞）D．（﹣2，6）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把原不等式化为（x+2）（x﹣6）＜0，求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式﹣x2+4x+12＞0可化为x2﹣4x﹣12＜0，即（x+2）（x﹣6）＜0；该不等式对应方程的两个实数根为﹣2和6，所以该不等式的解集为（﹣2，6）．故选：D．6．函数f（x）=2x﹣6+lnx的零点所在的区间（）A．（1，2）B．（3，4）C．（2，3）D．（4，5）【考点】函数零点的判定定理．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）=2﹣6＜0，f（2）=4+ln2﹣6＜0，f（3）=6+ln3﹣6＞0，f（4）=8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：C．7．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△MNF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆，解得y=±．由于△MNF2为等腰直角三角形，可得=2c，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF2为等腰直角三角形，∴=2c，即a2﹣c2=2ac，由e=，化为e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=﹣1+．故选C．8．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断．【解答】解：由f（x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f（x）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．故选：B．9．已知函数，其图象与直线y=﹣2相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对于任意的恒成立，则φ的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据条件先求出函数的周期，计算出ω的值，根据不等式恒成立，结合三角函数的解法求出不等式的解即可得到结论．【解答】解：∵函数，其图象与直线y=﹣2相邻两个交点的距离为π．∴函数的周期T=π，即=π，即ω=2，则f（x）=2sin（2x+φ），若f（x）＞1则2sin（2x+φ）＞1，则sin（2x+φ）＞，若f（x）＞1对于任意的恒成立，故有﹣+φ≥2kπ++，且+φ≤2kπ+，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，故φ的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，∵|φ|≤，∴当k=0时，φ的取值范围是[，]，故选：B．10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣ea﹣1，再由函数y=﹣ex+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=ea，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴ea=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣ea﹣1，又∵函数y=﹣ex+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若tanα=，则=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数关系式求出sinα和cosα，再由=，能求出结果．【解答】解：∵tanα=，∴sinα=，cos，或，cos，∴=﹣sin2α===．故答案为：．12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是﹣2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．13．如果实数x