2-3-2

2.3.2抛物线的简单几何性质双基达标（限时20分钟）1．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是()．A．6x－4y－3＝0B．3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0D．2x＋3y－1＝0解析设直线l的方程为3x－2y＋c＝0，抛物线y2＝2x的焦点F(12，0)，所以3×12－2×0＋c＝0，所以c＝－32，故直线l的方程是6x－4y－3＝0.选A.答案A2．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()．A．213B．215C．217D．219解析不妨设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1x2.由直线AB斜率为－2，且过点(1，0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝1，故|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（x1－x2）2＋4（x1－x2）2＝5（x1－x2）2＝5[（x1＋x2）2－4x1x2]＝215或|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝5（x1＋x2）2－4x1x2＝215.答案B3．已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()．A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析抛物线的焦点为F(p2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－p2，即x＝y＋p2，代入y2＝2px，得y2＝2p(y＋p2)＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得y1＋y22＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.答案B4．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．解析∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．∴所求抛物线方程为x2＝±16y.答案x2＝±16y5．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标是________．解析∵抛物线的焦点为F(1，0)，设A(y204，y0)，则OA→＝(y204，y0)，AF→＝(1－y204，－y0)，由OA→·AF→＝－4，得y0＝±2，∴点A的坐标是(1，2)或(1，－2)．答案(1，2)或(1，－2)6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．解(1)由抛物线的标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p2，故p2＝4，p＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝±16x或x2＝±16y.(2)双曲线方程16x2－9y2＝144化为标准形式为x29－y216＝1，中心为原点，左顶点为(－3，0)，故抛物线顶点在原点，准线为x＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p0)，可得p2＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.综合提高（限时25分钟）7．已知直线y＝k(x＋2)(k0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()．A.13B.23C.23D.223解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20，由y＝k（x＋2），y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，①∵|FA|＝x1＋p2＝x1＋2，|FB|＝x2＋p2＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，∴B(1，22)，代入y＝k(x＋2)，得k＝223.故选D.答案D8．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向准线l作垂线，垂足分别为M1，N1，则∠M1FN1等于()．A．45°B．60°C．90°D．120°解析如图，由抛物线的定义，得|MF|＝|MM1|，|NF|＝|NN1|.∴∠MFM1＝∠MM1F，∠NFN1＝∠NN1F.设准线l与x轴的交点为F1，∵MM1∥FF1∥NN1，∴∠MM1F＝∠M1FF1，∠NN1F＝∠N1FF1.而∠MFM1＋∠M1FF1＋∠NFN1＋∠N1FF1＝180°，∴2∠M1FF1＋2∠N1FF1＝180°，即∠M1FN1＝90°.答案C9．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程是________．解析该等边三角形的高为32.因而A点坐标为±32，12或±32，－12.可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)．A在抛物线上，因而p＝±312.因而所求抛物线方程为y2＝±36x.答案y2＝±36x10．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)．直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为________．解析抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1≠x2，y21＝4x1，y22＝4x2.两式相减得，y21－y22＝4(x1－x2)，∴y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝1，∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.答案y＝x11．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程．解设抛物线的方程为y2＝2px，则y2＝2px，y＝2x＋1，消去y，得4x2－(2p－4)x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝p－22，x1x2＝14.|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝5（x1＋x2）2－4x1x2＝5（p－22）2－4×14＝15.则p24－p＝3，p2－4p－12＝0，p＝－2或6.∴y2＝－4x或y2＝12x.12．(创新拓展)如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.(1)证明直线AB必过一定点；(2)求△AOB面积的最小值．(1)证明设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－1kx，由y＝kx，y2＝2x，解得x＝0，y＝0，或x＝2k2，y＝2k，即A点的坐标为(2k2，2k)．同样由y＝－1kx，y2＝2x，解得B点的坐标为(2k2，－2k)．∴AB所在直线的方程为y＋2k＝2k＋2k2k2－2k2(x－2k2)，化简并整理，得(1k－k)y＝x－2.不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.故直线过定点P(2，0)．(2)解由于AB所在直线过定点P(2，0)，所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2.由x＝my＋2，y2＝2x，消去x并整理，得y2－2my－4＝0.∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.于是|y1－y2|＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝（2m）2＋16＝2m2＋4.S△AOB＝12×|OP|×(|y1|＋|y2|)＝12|OP|·|y1－y2|＝12×2×2m2＋4＝2m2＋4.∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值为4.