湖南省岳阳县2017-2018学年高二10月月考数学试题(文)含答案

岳阳县2017年高二年级第一次考试数学试卷（文科）时量：120分钟满分：150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为()A．6B．8C．10D．122．已知sin5π2＋α＝15，(,0)2，那么sin＝()A．265B．15C．－15D．2653．已知1a，12ab，2()1ab，则a与b的夹角等于()A．30°B．45°C．60°D．120°4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为()A．8B．12C．6D．45．若1a1b0，有下面四个不等式：①|a||b|；②ab；③a＋bab；④a3b3.则不正确的不等式的个数为()A．0B．1C．2D．36．执行如图所示的程序框图，若输出的n＝5，则输入整数p的最大值是()A．15B．14C．7D．67．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)175175176177177则y对x的线性回归方程为()A．y^＝x－1B．y^＝x＋1C．y^＝12x＋88D．y^＝1768．秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．由他提出的一种多项式简化算法称为秦九韶算法：它是一种将n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法．即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．用秦九韶算法求多项式52()42fxxx，当3x时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为（）A．4,2B．5,2C．5,3D．6，29．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且sincos()0bAaBC，若2c，3sin5C，则ab（）A．43B．42C．26D．2510．将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A．π12B．π6C．π3D．5π611．正数,ab满足21ab，且221242ababt恒成立，则实数t的取值范围是（）A．2(,]2B．2[,)2C．22[,]22D．1[,)212．已知O是锐角ABC的外接圆圆心，60A，coscossinsinBCABACmOACB，则m的值为（）A．3B．3C．1D．1二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）13．已知向量(,1)am，(1,2)b，(1,2)c，若()//abc，则m＝________。14．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为。15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2016＝。16．若关于x的不等式23344axxb的解集恰好为[,]ab，那么ba。三、解答题：（本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设函数()2cos(cos3sin)()fxxxxxR。（1）求函数()yfx的周期和单调递增区间；（2）当0,2x时，求函数()fx的值域。18．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等。试估计总体中男生和女生人数的比例。19．（12分）某市采取“限价房”摇号制度，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号．已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并决定共同前往某小区抽取房号．目前该小区剩余房源有某单元四、五、六3个楼层共5套房，其中四层有1套房，五层、六层各有2套房．（1）求甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率；（2）求甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的概率．20．（12分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用,xy表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（1）用,xy列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？21．（12分）已知(1cos,2sin)2xax，(1cos,2cos)2xbx。（1）若21()2sin4fxxab，求()fx的表达式；（2）若函数()fx和函数()gx的图象关于原点对称，求()gx的解析式；（3）若()()()1hxgxfx在,22上是增函数，求实数的取值范围。22．（12分）数列nb的前n项和为nS，且对任意正整数n，都有(1)2nnnS；（1）试证明数列nb是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列na共有2017项，其首项与公比均为2，在数列na的每相邻两项ia与1ia之间插入i个(1)()iibiN后，得到一个新数列nc，求数列nc中所有项的和；（3）如果存在nN，使不等式11820(1)()(1)nnnnnbnbbb成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由。岳阳县一中2017年高二年级第一次考试数学试卷（文科）答案一、选择题：BDCACACBDBBA11．解：∵a＞0，b＞0，2a+b=1，∴4a2+b2=1﹣4ab，∴2﹣4a2﹣b2≤t﹣恒成立，转化为t≥2+4ab﹣恒成立，令f（a，b）=2+4ab﹣=4（ab+﹣）=4﹣，又由a＞0，b＞0，2a+b=1得：1=2a+b≥2，∴ab≤（当且仅当a=，b=时取“=”）；∴f（a，b）max=4﹣=．t≥．故选：B．12．解：如图，取AB中点D，则，OD⊥AB；∴；设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；由得，；两边同乘以得：=；即；∴；由正弦定理，∴b=2rsinB，c=2rsinC，代入上式整理得：；∴==﹣2sinA；又∠A=60°；∴．故选：A．二、填空题：13.5214.2315.100832316.4三、解答题：17．解：（1）函数()2cos(cos3sin)()fxxxxxR．化解可得：f（x）=2cos2x+2sinxcosx=．∴函数y=f（x）的周期T=（3分）∵，∴，∴函数y=f（x）的单调递增区间为：[,]36kk（k∈Z）；（5分）（2）∵，∴，∴，∴的值域是[0,3]．（10分）18．解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（3分）（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人，（7分）（3）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．（12分）19．解：（1）将这5套进行编号，记四层的1套房为a，五层的两套房分别为b1，b2，六层的两套房分别为c1，c2，则甲、乙两个家庭选房可能的结果有（a，b1），（a，b2），（a，c1），（a，c2），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b2，c1），（b2，c2），（c1，c2）共10种．故甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有2种，所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为．（6分）（2）甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的可能情况有6种，所以甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的概率为．（12分）20．1）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（6分）（2）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又∵x，y满足约束条件，∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组，得点M的坐标为（6，3）．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（12分）21．解（1）：，=2+sinx﹣cos2x﹣1+sinx=sin2x+2sinx（3分）（2）：设函数y=f（x）的图象上任一点M（x0，y0）关于原点的对称点为N（x，y）则x0=﹣x，y0=﹣y，∵点M在函数y=f（x）的图象上∴﹣y=sin2（﹣x）+2sin（﹣x），即y=﹣sin2x+2sinx∴函数g（x）的解析式为g（x）=﹣sin2x+2sinx（7分）（3）∵h（x）=﹣（1+λ）sin2x+2（1﹣λ）sinx+1，设sinx=t，∵x∈∴﹣1≤t≤1，则有h（t）=﹣（1+λ）t2+2（1﹣λ）t+1（﹣1≤t≤1）．①当λ=﹣1时，h（t）=4t+1在[﹣1，1]上是增函数，∴λ=﹣1，②当λ≠﹣1时，对称轴方程为直线ⅰ）λ＜﹣1时，，解得λ＜﹣1ⅱ）当λ＞﹣1时，，解得﹣1＜λ≤0综上，λ≤0．（12分）22．（1）证明：n=1时，b1=1；n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=﹣=n．n=1时也成立．∴bn=n为等差数列，首项与公差都为1．（3分）（2）解：通过题意，易得数列{an}的通项公式为2nna，其所有项的和为220172222220182018(222)(123420152016)22(12342016)22033134S（7分）（3）不等式，即不等式（n+1）≤（n+1）λ≤，化为：f（n）=≤λ≤1+=g（n）．∵f（n）≥f（3）=3+，g（n）≤g（1）=6．而n=1，2，3时不等式不成立．n≥4时，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．因此不存在n∈N*，使不等式成立．（12分）