北京市海淀区2012届高三下学期期中练习数学（文）试题

北京市海淀区2012届高三第二学期期中练习试题数学（文科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合2{|1}Axx==，{|(2)0}Bxxx=-，那么AB=（A）Æ（B）{1}-（C）{1}（D）{1,1}-（2）在等比数列{}na中，26a=，318a=-，则1234aaaa+++=（A）26（B）40（C）54（D）80（3）已知向量=(12=(1)xx,ab,),.若a与b垂直，则||b=（A）1（B）2（C）2（D）4（4）过双曲线221916xy的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（A）34150xy+-=（B）34150xy--=（C）43200xy-+=（D）43200xy--=（5）执行如图所示的程序框图，输出的k值是（A）5（B）6（C）7（D）8（6）若满足条件020xyxyya的整点(,)xy恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（A）3（B）2（C）1（D）0（7）已知函数2,1,()1,1,xaxxfxaxx若1212,,xxxxR，使得2nn31nn开始n=5，k=0n为偶数n=1输出k结束k=k+1是否是否12()()fxfx成立，则实数a的取值范围是（A）2a（B）2a（C）22a-（D）2a或2a-（8）在棱长为1的正方体''''ABCDABCD-中，若点P是棱上一点，则满足'2PAPC+=的点P的个数为（A）4（B）6（C）8（D）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）复数2i1i-在复平面内所对应的点的坐标为.（10）若tan2=，则sin2=.（11）以抛物线24yx上的点0(,4)x为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是.（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是，左视图的面积是.（13）设某商品的需求函数为1005QP=-，其中,QP分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQQPEPQ=-，'Q是Q的导数），则商品价格P的取值范围是.（14）已知函数1,,()0,.xfxxìÎïï=íïÎïîRQQð则()()______ffx=；下面三个命题中，所有真命题的序号是.①函数()fx是偶函数；②任取一个不为零的有理数T，()()fxTfx+=对xR恒成立；③存在三个点112233(,()),(,()),(,()),AxfxBxfxCxfx使得ABC为等边三角形.A'B'C'D'ABCD22俯视图2三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数()sinsin()3fxxx=+-.（Ⅰ）求()fx的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC中，角A，B，C的对边分别为,,abc.已知3()2fA=，3ab=，试判断ABC的形状.（16）（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.频率/组距时间x0.0030.00650.02510080604020O(17)（本小题满分14分）已知菱形ABCD中，AB=4，60BAD（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点1C的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．（Ⅰ）证明：BD//平面EMF；（Ⅱ）证明：1ACBD；（Ⅲ）当EFAB时，求线段AC1的长．(18)（本小题满分13分）已知函数211()ln(0)22fxaxxaa且R.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，使得对任意的1,x，都有()0fx？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.ABCD图1MFEABC1D图2（19）（本小题满分13分）已知椭圆:C22221(0)xyabab的右顶点(2,0)A，离心率为32，O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点,ED，求DEAP的取值范围.yxODPEA参考答案及评分标准2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CBBDACAB二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）(1,1)-（10）45（11）22(4)(4)25xy-+-=（12）2322（13）(10,20)（14）1①②③三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sinsin()3fxxx=+-13sinsincos22xxx=+-………………………………………2分33sincos22xx=-313sincos22xx骣÷ç÷=-ç÷ç÷÷ç桫3sin()6x=-.………………………………………4分由22,262kxkk--+?Z，得：222,33kxkk-+?Z.所以()fx的单调递增区间为2(2,2)33kk-+，kÎZ.………………………………………6分（Ⅱ）因为3()2fA=，所以33sin()62A-=.所以1sin()62A-=.………………………………………7分因为0A，所以5666A--.所以3A=.………………………………………9分因为sinsinabAB=，3ab=，所以1sin2B=.………………………………………11分因为ab，3A=，所以6B=.所以2C=.所以ABC为直角三角形.………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x.所以0.0125x=.………………………………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创.………………………………………9分因为6000.1272.所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………13分(17)（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,FM分别是11,CDCB的中点，所以//FMBD．………………………………………2分又FM平面EMF，BD平面EMF,所以//BD平面EMF．………………………………………4分（Ⅱ）在菱形ABCD中，设O为,ACBD的交点,则ACBD．………………………………………5分所以在三棱锥1CABD-中，1,COBDAOBD.OMFEABC1D又1,COAOO所以BD平面1AOC．………………………………………7分又1AC平面1AOC，所以BD1AC．………………………………………9分（Ⅲ）连结1,DECE．在菱形ABCD中，,60DAABBAD，所以ABD是等边三角形.所以DADB．………………………………………10分因为E为AB中点，所以DEAB．又EFAB，EFDEE．所以AB平面DEF，即AB平面1DEC．………………………………………12分又1CE平面1DEC，所以AB1CE．因为,4AEEBAB==，1BCAB=，所以114ACBC．………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()fx的定义域为(0,).2'()axafxxxx.………………………………………2分当0a时，在区间(0,)上，'()0fx.所以()fx的单调递减区间是(0,).………………………………………3分当0a时，令'()0fx得xa或xa（舍）.函数()fx,'()fx随x的变化如下：MFEABC1Dx(0,)aa(,)a'()fx+0()fx↗极大值↘所以()fx的单调递增区间是(0,)a，单调递减区间是(,)a.………………………………………6分综上所述，当0a时，()fx的单调递减区间是(0,)；当0a时，()fx的单调递增区间是(0,)a，单调递减区间是(,)a.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a时,()fx在[1,)上单调递减.所以()fx在[1,)上的最大值为(1)0f，即对任意的[1,)x，都有()0fx.………………………………………7分当0a时，①当1a，即01a时，()fx在[1,)上单调递减.所以()fx在[1,)上的最大值为(1)0f，即对任意的[1,)x，都有()0fx.………………………………………10分②当1a，即1a时，()fx在[1,)a上单调递增，所以()(1)faf.又(1)0f，所以()0fa，与对于任意的[1,)x，都有()0fx矛盾.………………………………………12分综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是(,0)(0,1].………………………………………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(2,0)A是椭圆C的右顶点，所以2a.又32ca，所以3c.所以222431bac.所以椭圆C的方程为2214xy.………………………………………3分（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，||4AP，DE为椭圆C的短轴，则||2DE.所以||1||2DEAP.………………………………………5分当直线AP的斜率不为0时，设直线AP的方程为(2)ykx，00(,)Pxy，则直线DE的方程为1yxk.………………………………………6分由22(2),14ykxxy得224[(2)]40xkx.即2222(14)161640kxkxk.所以202162.41kxk所以20282.41kxk-………………………………………8分所以2222000||(2)(0)(1)(2)APxykx.即2241||41kAPk.类似可求221||44kDEk.所以22222214||414.||41441kDEkkAPkkk………………………………………11分设24,tk则224kt，2t.22||4(4)1415(2).||DEtttAPtt令2415()(2)tgttt，则22415'()0tgtt.所以()gt是一个增函数.所以2||41544151||22DEtAPt.综上，||||DEAP的取值范围是1[,)2+?.………………………………………13分（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1Af，(1)=1Bf-，{1,6,10,16}AB.………………………………………3分（Ⅱ）设当()()CardXACardXB取到最小值时，XW=.（ⅰ）证明：假设2WÏ，令{2}YW.那么()()CardYACardYB()1()1CardWACardWB()()CardWACardWB.这与题设矛盾.所以2WÎ，即当()()CardXACardXB取到最小值时，2XÎ.………………………………………7分（ⅱ）同（ⅰ）可得：4WÎ且8WÎ.若存在aXÎ且aABÏ，则令{}XZað.那么()()CardZACardZB()1()1CardXACardXB