广东省高州市大井中学2011届高三期末考试（数学理）

广东省高州市大井中学2011届高三期末考试数学试题（理）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．1．已知全集UR，{22}Mxx，{1}Nxx，那么MN（）A．{1}xxB．{21}xxC．{2}xxD．{21}xx2．复数11ii－＋（）A．22B．2C．iD．i3．幂函数()fxx的图象过点(2,4)，那么函数()fx的单调递增区间是（）A．(2,)B．[1,)C．[0,)D．(,2)4．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）A．3B．2C．23D．45．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）甲乙318632454题图主视图俯视图左视图10题图A．65B．64C．63D．626．六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（）A．130B．110C．140D．1207．在ABC中，AB3，BC1，coscosACBBCA，则ACAB（）A．32或2B．32或2C．2D．32或28．如果对于函数()yfx的定义域内的任意x，都有()NfxM（,MN为常数）成立，那么称)(xf为可界定函数，M为上界值，N为下界值．设上界值中的最小值为m，下界值中的最大值为n．给出函数2()2fxxx，1(,2)2x，那么nm的值（）A．大于9B．等于9C．小于9D．不存在二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．已知向量=(1,3)a,=(3,)bn，如果a与b共线，那么实数n的值是______．10．阅读右面程序框图，如果输入的5n，那么输出的S的值为______．11．函数sin(0)yxx的图象与x轴围成图形的面积为．12．二元一次不等式组2,0,20,xyxy所表示的平面区域的面积为，xy的最大值为．13．已知函数()31xfxx，对于数列na有1()nnafa（nN，且2n），如果11a，那么2a，na．973267145714．给出下列四个命题：①命题“xxRx31,2”的否定是“2,13xRxx”；②在空间中，m、n是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，如果，n，mn，那么m；③将函数xy2cos的图象向右平移3个单位，得到函数sin(2)6yx的图象；④函数()fx的定义域为R，且21(0)()(1)(0)xxfxfxx,若方程()fxxa有两个不同实根，则a的取值范围为(,1)．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数22()cossin2sincosfxxxxx．（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）当,44x时，求函数()fx的最大值，并写出x相应的取值．16．（本小题满分13分）已知数列}{na，其前n项和为237()22nSnnnN．（Ⅰ）求数列}{na的通项公式，并证明数列}{na是等差数列；（Ⅱ）如果数列}{nb满足nnba2log，请证明数列}{nb是等比数列，并求其前n项和；（Ⅲ）设9(27)(21)nnncaa，数列{}nc的前n项和为nT，求使不等式57nkT对一切nN都成立的最大正整数k的值．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且2PAAD，,,EFH分别是线段,,PAPDAB的中点．（Ⅰ）求证：PB//平面EFH；（Ⅱ）求证：PD平面AHF；（Ⅲ）求二面角HEFA的大小．18．（本小题满分13分）某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销．（Ⅰ）试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；（Ⅱ）该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次．．中奖都获得m元奖金．假设顾客每次．．抽奖时获奖与否的概率都是21，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量X，请写出X的分布列，并求X的数学期望；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？19．（本小题满分13分）将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，0k）．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应是多少？20．（本小题满分14分）已知函数21()22fxaxx，()gxlnx．（Ⅰ）如果函数()yfx在[1,)上是单调增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数0a，使得方程()()(21)gxfxax在区间1(,)ee内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．题号12345678答案DDCCBCAB二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：两空的题第1个空3分，第2个空2分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）22()cossin2sincosfxxxxxcos2sin2xx………………………………4分2sin(2)4x………………………………6分所以函数()fx的最小正周期22T．…………………………8分（Ⅱ）44x，32444x，………………………………9分12sin(2)24x，………………………………11分∴当242x，即8x时，()fx有最大值2．…………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1n时，115aS，……………………………1分当2n时，22137[(1)][(1)]22nnnaSSnnnn题号91011121314答案91428，614，132nan（nN）③④37(21)3222nn．……………………………2分又15a满足32nan，……………………………3分32()nannN．………………………………4分∵132[3(1)2]3nnaann(2,)nnN，∴数列na是以5为首项，3为公差的等差数列．………………5分（Ⅱ）由已知得2nanb()nN，………………………………6分∵+1+13+12==2=2=82nnnnaa-ananbb()nN，……………………7分又11232ab，∴数列}{nb是以32为首项，8为公比的等比数列．………………8分∴数列}{nb前n项和为32(18)32(81)187nn．……………9分（Ⅲ）91111()(27)(21)(21)(21)22121nnncaannnn……10分∴1111111[()()()]213352121nTnn11(1)22121nnn．……………………11分∵110(23)(21)nnTTnn()nN，∴nT单调递增．∴min11()3nTT．…………………12分∴1357k，解得19k，因为k是正整数，∴max18k．………………13分17．（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明：∵E，H分别是线段PA，AB的中点，∴EH//PB．………………………2分又∵EH平面EFH，PB平面EFH，∴PB//平面EFH．……………………………4分（Ⅱ）解：F为PD的中点，且PAAD，PDAF，又PA底面ABCD，BA底面ABCD，ABPA．又四边形ABCD为正方形，ABAD．又PAADA，AB平面PAD．……………………………………7分又PD平面PAD，ABPD．……………………………………8分又ABAFA，PD平面AHF．……………………………………9分（Ⅲ）PA平面ABCD，PA平面PAB，平面PAB平面ABCD，AD平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，ADAB，AD平面PAB，E，F分别是线段PA，PD的中点，EF//AD，EF平面PAB．EH平面PAB，EA平面PAB，EFEH，EFEA，……………………10分HEA就是二面角HEFA的平面角．……………………12分在RtHAE中，111,1,22AEPAAHAB45AEH，所以二面角HEFA的大小为45．………14分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)ABCD,)2,0,0(P，)1,0,0(E，)1,1,0(F，(1,0,0)H．………………2分（Ⅰ）证明：∵(2,0,2)PB，(1,0,1)EH，∴2PBEH,∵PB平面EFH，且EH平面EFH，……………………4分∴PB//平面EFH．……………………5分（Ⅱ）解：(0,2,2)PD，(1,0,0)AH，(0,1,1)AF，……………………6分0021(2)10,0120(2)00.PDAFPDAH……………………8分,PDAFPDAH，又AFAHA，PD平面AHF．………………………9分（Ⅲ）设平面HEF的法向量为),,(zyxn,因为(0,1,0)EF，(1,0,1)EH，则0,0,nEFynEHxz取).1,0,1(n………………………………12分又因为平面AEF的法向量为),0,0,1(m所以10012cos,,2||||212mnmnmn…………………13分,45,mn所以二面角HEFA的大小为45．…………………14分18．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共有37C种选法．……………………………2分选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有34C种，………………………4分所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为353113734CCP．………………………5分（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，m，2m，3m．……………………6分0X时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖,所以,81212103003CXP……………………7分同理可得,8321212113CmXP……………………8分,83212121223CmXP…………………9分.81212130333CmXP…………………10分所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X的分布列为：X0m2m3mP18383818于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是mmmmEX5.181383283810．……………………11分（Ⅲ）要使促销方案