吉林省东北师大附中09-10学年高二上学期期中考试（数学理）

东北师大附中09-10学年高二上学期期中考试数学（理）试题命题人：毕伟李海军审题人：刘桂英本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，试卷满分120分，答题时间为120分钟．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考号、班级和登录账号填写在答题纸和答题卡的指定位置．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚，请按照题号顺序在各个题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题（本卷共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）命题“001,sin2xRx”的否定是（A）1,sin2xRx（B）1,sin2xRx（C）01,sin2xRx（D）不存在1,sin2xRx（2）椭圆22153xy的离心率是（A）25（B）105（C）23（D）63（3）设,abR，则“0ab”是“abab”的（A）充要条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）用辗转相除法（或更相减损术）求得78和36的最大公约数数是（A）24（B）18（C）12（D）6（5）阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若8.0p，则输出的n值为（A）3（B）4（C）5（D）6（6）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c，则有（A）cba（B）acb（C）bac（D）abc（7）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示命中，用5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（A）0.35（B）0.30（C）0.25（D）0.20（8）命题“若0m或0n，则0nm”的逆否命题是（A）若0nm，则0m或0n（B）若0m或0n，则0mn（C）若0nm，则0m且0n（D）若0m且0n，则0mn（9）3名学生排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（A）16（B）13（C）12（D）23（10）如果事件A与B是互斥事件，且事件AB的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率是（A）0.2（B）0.4（C）0.6（D）0.8（11）用秦九韶算法求多项式23456()1235879653fxxxxxxx在4x的值时，其中2v的值是开始输入p0,1Sn?pSnSS2/11nn输出n结束否是（A）22（B）34（C）57（D）220（12）已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（A）(0,1)（B）1(0,]2（C）2(0,)2（D）2[,1)2第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡的横线上）（13）某小组共有8名同学,其中男生6人,女生2人,现从中按性别用分层抽样方法从中抽取4人参加社区志愿者服务,则男生抽取人；女生抽取人．（14）已知椭圆221369xy的左右两个焦点分别为12,FF，P是椭圆上一点，且1260FPF，则△12FPF的面积为．（15）在检查产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[,)ab是其中一组，检查出的个体在该组上的频率为m，该组的直方图的高为h，则ab．（16）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）（本题满分8分）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C,因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12.同样也假设D受A、B和C感染的概率都是13.（Ⅰ）试写出A、B、C、D都被感染所有可能情况；（例如ABCD，）（Ⅱ）求A直接感染2人的概率．CABD（18）（本题满分8分）过点(2,4)P作两条互相垂直的直线12,ll，1l与x轴交于点A，2l与y轴交于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程．（19）（本题满分10分）在区间(1,1)中随机地取出两个数,mn，求使方程22210xmxn无实根的概率。（20）（本题满分10分）某校高二年级共有1200名学生，为了分析某一次数学考试情况，今抽查100份试卷，成绩分布如下表：成绩[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数456921271594频率0.040.050.060.090.210.270.150.090.04PABCD（Ⅰ）画出频率分布直方图；（Ⅱ）由频率分布表估计这次考试及格（60分以上为及格）的人数；（Ⅲ）由频率分布直方图估计这考试的平均分．（21）（本题满分10分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是一个边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD底面ABCD．（Ⅰ）求四棱锥PABCD的体积；（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值．（22）（本题满分10分）已知椭圆C：22221(0)xyabab的左、右焦点为1F、2F，椭圆C上的点263(,)33P满足120PFPF．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）自定点(0,2)Q作一条直线l与椭圆C交于不同的两点A、B（点B在点A的下方），记||||QBQA，求的取值范围．参考答案一、选择题：ABCDBDCCDCBC二、填空题：（13）3，1（14）33（15）hm（16）32三、解答题（17）解：（I）共有6种情形（Ⅱ）记“A直接感染2人”的事件为A，由（I）知A、B、C、D四人先后感染共有6种不同的情形，A直接感染2人有3种情形所以，31()62PA．答：A直接感染2人的概率为12．（18）解法一：设点(,)Mxy∵M为AB的中点，∴(2,0),(0,2)AxBy∴(22,4),(2,24)CAxCBy∵CACB，∴0CACB∴2(22)4(24)0xy，即250xy故，点M的轨迹方程为250xy。解法二：设点,AM的坐标分别为(,0),(,)txy（1）当2t时，直线1l的斜率为142kt，所以直线2l的斜率为224tk直线2l的方程为24(2)4tyx．DABCABCDCABDCABDCABDCABD频率组距1020304050607080901000.0040.0050.0090.0060.0150.0210.027成绩分数PABCDEFG令0x，得52ty，即点B的坐标为(0,5)2t．由于点M是线段AB的中点，由中点坐标公式得，5,224ttxy由2tx得2tx，代入524ty，得250xy．（2）当2t时，可得点A、B的坐标分别为（2，0），（0，4），此时点M的坐标为（1，2），它然适合方程250xy．由（1）（2）可知，方程250xy就是所求的点M的轨迹方程，他表示一条直线．（19）解：记“方程22210xmxn无实根”的事件为A每个基本事件发生是等可能的区域11(,)11mDmnn，区域2211(,)111mAxynmn．()4APAD的面积的面积．答：方程22210xmxn无实根的概率为4．（20）解（Ⅰ）频率直方图见右图．（Ⅱ）∵60分以上的频率约为0.270.150.090.040.55∴及格人数约为12000.55660．（Ⅲ）平均分约为：150.04250.05350.06450.21650.27750.15850.09950.0459.8x（21）解：（1）过点P作PEAD于点E，则PE平面ABCD．xy(0,2)QBAO34232PE．……………………………………2分正方形ABCD的面积4416．所以四棱锥PABCD的体积为1323231633PABCDV．……4分（2）过E作EFBC于F点，连PF，过E作EGPF于G点，因为BC平面PEF，EG平面PEF，所以EGBC．又PFBC于F点，所以EG平面PBC．……………………………………6分在RtPEF中，22(23)427PF，所以234421727EG．………………………………………8分所以，设求直线PA与平面PBC所成的角为，则421217sin47EGPA．直线PA与平面PBC所成的角的正弦值为217．…………10分（22）解：（1）设12(,0),(,0)FcFc，其中22cab，于是1263(,)33PFc，2263(,)33PFc，则由120PFPF可得226263()()()0333cc，所以23c．………………………………………………………2分又点P在椭圆C上，所以2222263()()331ab，即22813ab．…………○1又2223abc，所以，223ba．…………○2○2代入○1整理得42318240aa，解得22a（舍），或24a．所以，21b．于是，所求的椭圆C的标准方程为2214xy．………………4分（2）由题可知，01．于是，由||||QBQA，则QBQA，（I）当直线l的斜率不存在时，容易求得，(0,1),(0,1)BA，所以||1,||3QBQA，所以，此时||13||QBQA．……………………5分（II）当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为2ykx．○3设点1122(,),(,)AxyBxy，将○3代入2214xy消去y得：22(14)16120kxkx．由22216412(14)0kk解得234k．1221614kxxk，…………○41221214xxk，……………○5…………………………………………7分又QBQA，所以2211(,2)(,2)xyxy，所以有21xx，…………………○6将○6代入○4得1216(1)14kxk，…………○7将○6代入○5得2121214xk，………………○8联立○7○8，消去1x得2222221612(1)(14)14kkk，所以，222222(1)16(14)12(14)kkk，化简得2164213(4)k，因为21403k，2116443k，所以2641022133(4)k，所以，11023且01．………………9分设1()f，则()f在(0,1)上为减函数，又110(),(1)233ff，所以113．（此处也可以通过解一元二次不等式求出的取值范围）综合（I）、（II）可得，的取值范围是113．…………10分