湖南省长沙市一中09-10学年高二上学期期中考试（数学文）

湖南省长沙市一中09-10学年高二第一学期期中考试数学文科2009年11月5日年级高二科目文选数学时量120分钟命题人：汤清亮审校人：李召罗总分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列式子中错误．．的是（）A．B．（是自然对数的底）C．D．（，且）2．若一个命题的否命题为假命题，则（）A．这个命题为假命题B．这个命题的逆命题为假命题C．这个命题的逆命题为真命题D．这个命题的逆否命题为假命题3．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，－1）B．（0，1）C．（－1，0）D．（1，0）4．函数（是自然对数的底）的导函数是（）A．B．C．D．5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．若直线：与圆：有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知导函数图像（如左下图），则函数图像最可能是（）ABCD8．已知曲线，直线．且与相切于点，则切点的坐标为（）．A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9．椭圆的离心率为．10．若一物体运动距离与时间的关系式为，则此物体运动的瞬时速度为=．11．已知，若，则=．12．函数的单调递减区间是．13．已知命题：“导数值为0的点一定是函数的极值点”，命题：“椭圆离心率越大，椭圆越扁”．①；②；③上面三个命题中为真命题的是（只填序号）14．已知点P为抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A(2，3)，则|PA|+|PM|的最小值是．15．已知曲线：是焦点在轴上的椭圆时，的集合为；曲线：是双曲线时，的集合为．设：，：．若是的必要不充分条件，则（1）=；（2）的范围是．长沙市第一中学2009～2010学年度第一学期期中考试·文选数学答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9．．10．．11．．12．．13．．14．．15．（1），（2）．三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）已知点是函数图像上的一点，且点的横坐标为1，求：（1）函数的导函数；（2）点处的切线方程．17．（本小题满分12分）已知双曲线：的顶点坐标为，离心率为．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线是过双曲线右焦点且与轴垂直的直线，若直线和双曲线的渐近线相交于两点，求的面积（为原点）．18．（本小题满分12分）如图：PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角正弦值．19．（本小题满分13分）已知M是抛物线：上的动点，过M作轴的垂线MN，垂足为N，记线段MN的中点为．（1）求点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；（2）若点是曲线上的任意一点，求点到直线距离的最小值．20．（本小题满分13分）己知函数．（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）若曲线在点处与直线：相切，求函数的极值．21．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知动点到两个定点、的距离之和为4，动点的轨迹为E．（1）求轨迹E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且(O为坐标原点)．若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（3）设直线与圆C:(1R2)相切于A1，且与轨迹E只有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取得最大值?并求最大值．长沙市第一中学2009～2010学年度第一学期期中考试·文选数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案DBCCDBCB二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9．．10．．11．．12．和．13．②③．14．．15．（1），（2）．三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）已知点是函数图像上的一点，且点得横坐标为1，求：（1）函数的导函数；（2）点处的切线方程．解：（1）．…………6分（2）将代入，求得点．处的切线斜率，∴点处的切线方程为，即．…………12分17．（本小题满分12分）已知双曲线：的顶点坐标为，离心率为．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线是过双曲线右焦点且与轴垂直的直线，若直线和双曲线的渐近线相交于两点，求的面积（为原点）．解：（1）依题意，，，∴，，双曲线的标准方程为．…………6分（2）双曲线右焦点为，双曲线的渐近线方程为，∴，的面积.………12分18．（本小题满分12分）如图：PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角正弦值．证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴．∵，，∴平面．∵，∴．∵，点是的中点，.，．…………6分解：（2）由（1）知平面，∴在平面上的射影为，是与平面所成的角．在中，,,．直线与平面所成的角正弦值为．…………12分19．（本小题满分13分）已知M是抛物线：上的动点，过M作轴的垂线MN，垂足为N，记线段MN的中点为．（1）求的轨迹方程，并说明它是什么曲线；（2）若点是曲线上的任意一点，求点到直线距离的最小值．解：（1）设垂线段的中点坐标为，抛物线上相应点的坐标为．则．代入，得的轨迹方程为．轨迹是顶点在原点，焦点坐标为的抛物线．…………7分（2）依题意，所求的点是与直线平行的直线和抛物线相切的切点．设点，由求导，，则，，∴点．∴点到直线距离的最小值为=．…………13分20．（本小题满分13分）己知函数．（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）若曲线在点处与直线：相切，求函数的极值．解：（1）当时，，由，得．∴函数的单调递减区间为．…………3分（2），在［1，＋）是增函数，在［1，＋）上恒有即在［1，＋）上恒成立，则必有且，．…………8分（3）依题意，是的极值点，∴，即，.令，则与随的变化情况如下表．3+00+极大值极小值当时，函数极大值为；当时，函数极小值为．…………13分21．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知动点到两个定点、的距离之和为4，动点的轨迹为E．（1）求轨迹E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且(O为坐标原点)．若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（3）设直线与圆C:(1R2)相切于A1，且与轨迹E只有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取得最大值?并求最大值．【解析】（1）根据椭圆的定义知轨迹E为椭圆，其轨迹方程为．…………3分（2）设圆心在原点的圆的一条切线为，解方程组得，即，要使切线与轨迹E恒有两个交点A、B，则使△=，即，即，且，要使，需使，即，所以，即且，即恒成立．又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，所求的圆为．当切线的斜率不存在时，切线为，与交于点或也满足．综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．…………8分(3)设直线的方程为，因为直线与圆C:(1R2)相切于A1，由（2）知，即①，因为与轨迹E只有一个公共点B1，由（2）知得，即有唯一解则△=，即，②由①②得，此时A，B重合为B1(x1，y1)点，由中，所以，，B1(x1，y1)点在椭圆上，所以，所以，在直角三角形OA1B1中，，因为当且仅当时取等号，所以，即当时|A1B1|取得最大值，最大值为1．……………13分