揭阳市2012届高三上学期学业水平考试（理数）

揭阳市2012届高三上学期学业水平考试数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式13VSh,其中S是锥体的底面积，h为锥体的高．一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|1,}AxyxxZ，则A．iAB．2iAC．3iAD．4iA2．已知倾斜角为的直线l与直线220xy平行，则tan2的值为A.45B.34C.43D.233．已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时()3xfxm（m为常数），则3(log5)f的值为A.4B.4C.6D.64．双曲线2213xy的一个焦点到它的渐近线的距离为A.1B.2C.3D.25．“2a”是“函数()2xfxax有零点”的．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则()BABCCF的值为A.34B.32C.32D.327．已知向量(,1),(2,)axzbyz，且ab，若变量x,y满足约束条件1325xyxxy，则z的最大值为A.1B.2C.3D.48．已知函数()|1|()fxxxxR,则不等式1()4fx的解集为A.12(,)2B.1(,)2C.1212(,)22D.12(,)2二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9.设i是虚数单位，若复数1aii为纯虚数，则实数a的值为.10．设nS是等差数列{}na的前n项和，且151,9aa，则6S=.11．近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车保有量急剧增加，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一是空气中的pm2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）.右图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5”24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有天“pm2.5”含量不达标．12．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门相同的选法共有种．（用数字作答）13．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为6，则该几何体体积的最大值为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题)直线2()1xttyt为参数被圆35cos15sinxy()为参数,[0,2)所截得的弦长为.15．(几何证明选讲选做题)如图，从圆O外一点P引圆的切线PC和割线PBA，已知PC=2PB，3BC,则AC的长为．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sincos(),fxxxxR．(1)求函数()fx的最小正周期；(2)求函数()fx的最大值和最小值；(3)若1(),(0,)42f，求sincos的值．17.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ为标准A，3ξ为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准.（1）从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567该行业规定产品的等级系数7ξ的为一等品，等级系数57ξ的为二等品，等级系数35ξ的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：1,352,574.7y，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为X，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）已知函数321()2,3fxxbxxa2x是()fx的一个极值点.（1）求函数()fx的单调区间；（2）若当[1,)x时，22()3fxa恒成立，求a的取值范围.19．（本小题满分14分）如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示.（1）求证：PDEF;（2）求三棱锥PDEF的体积；（3）求DE与平面PDF所成角的正弦值．20．（本小题满分14分）已知定点A（-3,0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且MNAN,点P在直线MN上，32NPMP.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点Q是曲线228150xyx上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知113x，21nnnxxxa．（nN，a为常数）（1）若14a，求证：数列1lg()2nx是等比数列；（2）在（1）条件下，求证：51(),()62nnxnN；（3）若0a，试问代数式2011111nnx的值在哪两个相邻的整数之间？并加以证明．参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一．选择题：BCBAACCD解析：1．∵{1,0,1}A,21i，故选B.2．依题意知：1tan2，从而22tan4tan21tan3,选C.3．由()fx是定义在R上的奇函数得(0)101fmm，3log533(log5)(log5)(31)ff4,选B.4．双曲线的一个焦点为(2,0)，一条渐近线方程为13yx，可得焦点到它的渐近线的距离为|20|131，选A.5．若2a，则函数()2xfxax必有零点，反之函数()2xfxax有零点，a未必为2.故选A.6．由余弦定理得1||11211()32BF,3()13cos302BABCCFBABF,选C.7．∵ab∴2()02xzyzzxy，点(,)xy的可行域如图示，当直线2zxy过点（1,1）时，Z取得最大值，max213z，选C.8．在同一坐标系内作出函数()|1|fxxx和14y的图象如图，利用数形结合易得答案选D.二．填空题：9.1；10.36；11.27；12.30；13.．14.82；15.23.解析：10．易得661611,3()36aSaa.11．该市当月“pm2.5”含量不达标有801001601206020()0.0053027333333（天）;12．间接法.2222444230CCCC（种）；直接法：分成两类：有一门相同的有111432CCC种，两门相同的有24C种，至少一门相同有1112432430CCCC（种）13．由三视图知，该几何体为圆柱，设其底面的半径为r，高为h，则42623rhrh，2Vrh3()3rrh（当rh时“=”成立）或2Vrh=2(32)rr，2'[2(32)2]6(1)Vrrrrr，令'0V得1r，当(0,1)r时，'0V,当(1,)r时，'0V，故当1r时，V有最大值，maxV，14．把直线和圆的参数方程化为普通方程得,01yx22(3)(1)25xy，于是弦心距,223d弦长9225822l.15．∵,PCBPACCPBAPC∴PBC∽PCA∴1232PBBCBCACPCACAC三．解题题：16．解：（1）∵()sincos2sin(),4fxxxxxR------------2分∴函数()fx的最小正周期2T---------------------3分（2）函数()fx的最大值和最小值分别为2,2．----------------5分（3）由1()4f得1sincos4∴21(sincos)16，----------------------------6分1151sin2,sin21616----------------------------------7分∴21531(sincos)1sin211616-------------------9分∵(0,)2，∴sincos0∴31sincos4．---------------------------12分17．解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数7ξ有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-------------------------------3分∴样本中一等品的频率为60.230，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2----4分二等品的频率为90.330，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；------5分三等品的频率为150.530，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．-----6分（2）∵X的可能取值为：1,2,4用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）可得(1)0.5PX,(2)0.3PX,(4)0.2PX--8分∴可得X的分布列如右：---------------------------10分其数学期望10.520.340.21.9EX(元)----------12分18．解：（1）∵2'()22fxxbx且2x是()fx的一个极值点∴'(2)4420fb32b，-------------------------2分∴2'()32(1)(2)fxxxxx-----------------------4分由'()0fx得2x或1x，∴函数()fx的单调增区间为(,1)，(2,)；---6分由'()0fx得12x，∴函数()fx的单调减区间为(1,2)，----------8分（2）由（1）知，函数()fx在(1,2)上单调递减，在(2,)上单调递增∴当2x时，函数()fx取得最小值，min()(2)fxf=23a，----------10分[1,)x时，22()3fxa恒成立等价于2min2(),[1,)3afxx-----12分即2001aaa。--------------------14分19．（1）证明：依题意知图①折前,ADAECDCF,∴,PDPE