珠海中2011届高三第二学期第一次调研测试（数学理科）

广东省珠海一中2011届高三第二学期第一次调研测试数学（理科）试题2011-2-24考试时间：120分钟满分：150分一、选择题:(每小题5分，共50分)1.已知全集UR，集合2|230Axxx，|24Bxx，那么集合()UABð()A．|14xxB．|23xxC．|23xxD．|14xx2.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于A．23B．21C．31D．333．已知复数z满足1iz＝3，则复数z的实部与虚部之和为A．3iB．11i3C．23D．434．已知定义在R上的函数()fx为奇函数，且函数(21)fx的周期为5，若15f，则(2009)(2010)ff的值为A．5B．1C．0D．55.8名学生和2位教师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为A、8289PPB、8289PCC、8287PPD、8287PC6.若对于任意角，都有，则下列不等式中恒成立的是A.；B.；C.；D.7.删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是A．2048B．2049C．2050D．20518.设0a，点集S的点(,)xy满足下列所有条件：①22axa；②22aya；③xya；④xay；⑤yax。则S的边界是一个有几条边的多边形（）A、4B、5C、6D、7二、填空题：（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上）9、已知5cos,052，则tan________.10．已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．11、设数列na是公差不为零的等差数列，前n项和为nS，满足222223457,7aaaaS，则使得12mmmaaa为数列na中的项的所有正整数m的值为12.已经三角形的三边分别是整数l，m，n，且l＞m＞n，已知}103{}103{}103{444nml，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．则这种三角形周长的最小值为13．从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_________种不同的取法．14.在0120的二面角内，放一个半径为10cm的球切两半平面于A,B两点，那么这两切点在球面上的最短距离是___________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）设锐角三角形ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且cos(2)cosbCacB=-.（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求sinsinAC+的取值范围.16．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA∥PB，PB＝AB＝2MA．（Ⅰ）证明：AC∥平面PMD；（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的正切值．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝181x2－94x－10与x轴的交点为A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t(单位：秒)ABCDPM（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当t∈（0，29）时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．18.(本小题满分14分)某商店投入38万元经销某种纪念品,经销时间共60天,为了获得更多的利润,商店将每天获得的利润投入到次日的经营中,市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第n天的利润6026,251251,1nnnan(单位:万元,nN),记第n天的利润率nb天投入的资金总和前天的利润第nn,例如.382133aaab(1)求21,bb的值;(2)求第n天的利润率nb;(3)该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该天的利润率.19.(本小题共14分）已知点列0,nnxA满足：1110aAAAAnn，其中Nn，又已知10x，111ax，.(1)若Nnxfxnn1，求xf的表达式；(2)已知点B0a，，记NnBAann，且nnaa1成立，试求a的取值范围；(3)设（2）中的数列na的前n项和为nS，试求：aaSn21。20.(本小题满分14分)0lnaxaxxf.(1)若,1a求xf的单调区间及xf的最小值;(2)若0a,求xf的单调区间;OABxyDQCFPE(3)试比较222222ln33ln22lnnn与12121nnn的大小.2nNn且,并证明你的结论.珠海一中2011届高三第二学期第一次调研测试（数学理）参考答案1-5BBDDA6-8DAC9.-210.－4≤a≤－111.212.300313.250014.31015.（I）正弦定理得sincos(2sinsin)cosBCACB=-2sincossincos.ABCB=-………………2分则sincossincos2sincosBCCBAB+=.∴sin()2sincos,BCAB+=又sin()BC+=sin0A¹，∴1cos,2B=又0Bp，∴3Bp=.………………5分（Ⅱ）由ABCp++=及3Bp=，得23CAp=-.………………6分又△ABC为锐角三角形，∴0,20.32AApppìïïïïïíï2ï-ïïïî∴62App.…………8分233sinsinsinsin()sincos3sin()3226ACAAAAApp+=+-=+=+.又2(,)633Appp+?，∴3sin()(,1]62Ap+?.………………11分∴3sinsin(,3]2AC+?.………………12分16.（Ⅰ）证明：如图，取PD的中点E，连EO，EM．∵EO∥PB，EO＝12PB，MA∥PB，MA＝12PB，∴EO∥MA，且EO＝MA．∴四边形MAOE是平行四边形．∴ME∥AC．又∵AC/平面PMD，ME平面PMD，∴AC∥平面PMD．…………3分（Ⅱ）如图，PB平面ABCD，CD平面ABCD，∴CDPB．又∵CDBC，∴CD平面PBC．∵CD平面PCD，∴平面PBC平面PCD．过B作BFPC于F，则BF平面PDC，连DF，则DF为BD在平面PCD上的射影．∴BDF是直线BD与平面PDC所成的角．不妨设AB＝2，则在Rt△PBC中，PB＝BC＝2，BFPC，∴BF＝12PC＝2．∵BD＝22．∴在Rt△BFD中，BF＝12BD，∴BDF＝6．∴直线BD与平面PCD所成的角是6．………………5分（Ⅲ）解：如图，分别延长PM，BA，设PM∩BA＝G，连DG，则平面PMD∩平面ABCD＝DG．不妨设AB＝2，∵MA∥PB，PB＝2MA，∴GA＝AB＝2．过A作ANDG于N，连MN．∵PB平面ABCD，∴MA平面ABCD，∴MNDG．∴MNA是平面PMD与平面ABCD所成的二面角的平面角（锐角）．在Rt△MAN中，tanMNA＝MANA＝22．∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角的正切值是2217.（1）在y＝181x2－94x－10中，令y＝0，得x2－8x－180＝0．解得x＝－10或x＝18，∴A(18，0)．···························································1分在y＝181x2－94x－10中，令x＝0，得y＝－10．∴B(0，－10)．·····································2分∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为－10．由－10＝181x2－94x－10得x＝0或x＝8．∴C(8，－10)．·····································3分∵y＝181x2－94x－10＝181(x－4)2－998∴抛物线的顶点坐标为(4，－998)．································································4分（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可．∵QC＝t，PA＝18－4t，∴t＝18－4t．解得t＝518．·····································································································6分（3）设点P运动了t秒，则OP＝4t，QC＝t，且0＜t＜4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．∵QC∥OP，∴PDQD＝ODCD＝OPQC＝tt4＝41．同理QC∥AF，∴AFQC＝AECE＝ODCD＝41，即AFt＝41．∴AF＝4t＝OP．ABCDPMGN图3OABxyDQCFPE∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18．········································································8分∴S△PQF＝21PF·OB＝21×18×10＝90∴△PQF的面积总为定值90．·········································································9分（4）设点P运动了t秒，则P(4t，0)，F(18＋4t，0)，Q(8－t，－10)t∈（0，4.5）．∴PQ2＝(4t－8＋t)2＋102＝(5t－8)2＋100FQ2＝(18＋4t－8＋t)2＋102＝(5t＋10)2＋100．①若FP＝FQ，则182＝(5t＋10)2＋100．即25(t＋2)2＝224，(t＋2)2＝25224．∵0≤t≤4.5，∴2≤t＋2≤6.5，∴t＋2＝25224＝5144．∴t＝5144－2．······························································································11分②若QP＝QF，则(5t－8)2＋100＝(5t＋10)2＋100．即(5t－8)2＝(5t＋10)2，无0≤t≤4.5的t满足．······································12分③若PQ＝PF，则(5t－8)2＋100＝182．即(5t－8)2＝224，由于224≈15，又0≤5t≤22.5，∴－8≤5t－8≤14.5，而14.52＝(229)2＝4841＜224．故无0≤t≤4.5的t满足此方程．·································································13分注：也可解出t＝51448－＜0或t＝51448＋＞4.5均不合题意，故无0≤t≤4.5的t满足此方程．综上所述，当t＝5144－2时，△PQF为等腰三角形．····························14分18.解:(1)