勾股定理逆定理复习课

栏目索引17.2勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理(复习)栏目索引17.2勾股定理的逆定理知识点一互逆命题与互逆定理名称定义关系互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反,那么这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题(1)命题有真有假,而定理都是真命题.(2)每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理知识回顾栏目索引17.2勾股定理的逆定理知识点二勾股定理的逆定理定义解题步骤勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形(1)先比较a,b,c的大小,找出最大边长;(2)计算两较小边长的平方和以及最大边长的平方;(3)比较计算结果,若相等,则是直角三角形,并且最长边所对的角是直角;若不相等,则不是直角三角形栏目索引17.2勾股定理的逆定理知识点三勾股数名称定义举例勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数常见的勾股数有:3,4,5或5,12,13或8,15,17或7,24,25或9,40,41等判断方法(1)确定三个正整数a,b,c;(2)确定最大数c;(3)判断较小两数的平方和a2+b2是否等于c2栏目索引17.2勾股定理的逆定理例1写出下列两个命题的逆命题,并判断真假.(1)在一个三角形中,等角对等边;(2)四边形的内角和是360°.分析找出命题的题设和结论 交换题设和结论 判断命题的真假解析(1)逆命题:在一个三角形中,等边对等角,真命题.(2)逆命题:内角和等于360°的多边形是四边形,真命题.方法归纳写出一个命题的逆命题的关键是分清原命题的题设和结论,然后将题设和结论交换位置,即得逆命题,判断一个命题是真命题需证明,判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.有些命题不容易确定题设和结论,一般写成“如果……,那么……”的形式.经典例题栏目索引17.2勾股定理的逆定理2.(2018福建莆田二十五中期末)若一个三角形的三边长之比为8︰15︰17,则它为三角形.答案直角解析设三边长分别为8k,15k,17k(k0),则(8k)2+(15k)2=289k2=(17k)2,由勾股定理的逆定理,可判断此三角形为直角三角形.栏目索引17.2勾股定理的逆定理例3下列几组数中,是勾股数的有 ()①0.6,0.8,1;②32,42,52;③6,8,10;④ , , .A.1组B.2组C.3组D.4组121314解析①中的数不全是正整数,④中的数都不是正整数;②中(32)2+(42)2≠(52)2;③中6,8,10刚好是勾股数3,4,5的2倍.故只有③是勾股数.答案A栏目索引17.2勾股定理的逆定理题型一利用勾股定理的逆定理判断三角形形状例1如图17-2-1,E,F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,且AB=4,CE= BC,F为CD的中点,连接AF,AE,EF,问:△AEF是什么三角形?请说明理由. 图17-2-114分析由“AB=4,CE= BC,F为CD的中点”,可以求出CE,BE,CF,DF的长,从而利用勾股定理求出AF,EF,AE的长,进而利用勾股定理的逆定理判断出△AEF的形状.14常见题型栏目索引17.2勾股定理的逆定理解析∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD=AB=BC=4,∠B=∠D=∠C=90°.∵CE= BC,F为CD的中点,∴CE=1,BE=3,CF=DF=2,∴AE= =5,EF= = ,AF= =2 .又∵( )2+(2 )2=52,∴EF2+AF2=AE2,∴△AEF是直角三角形.1422ABBE22CECF522ADDF555栏目索引17.2勾股定理的逆定理题型二利用勾股定理及其逆定理解决综合问题例2某校把一块三角形的废地开辟为植物园,如图17-2-2所示,测得AC=80m,BC=60m,AB=100m.(1)若入口E在边AB上,且与A,B的距离相等,求入口E到A点的距离;(2)若线段CD是一条小渠,且点D在边AB上,则当点D距点A多远时,水渠的长度最短? 图17-2-2栏目索引17.2勾股定理的逆定理解析(1)∵AC=80m,BC=60m,AB=100m,∴AC2+BC2=802+602=6400+3600=1002=AB2,∴△ABC为直角三角形,且AB为斜边.又∵AE=EB,∴AE= AB= ×100=50(m).故入口E到A点的距离为50m.(2)由题意知,当CD⊥AB时,CD最短.∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴S△ABC= ×100CD= ×80×60,∴CD=48m.12121212栏目索引17.2勾股定理的逆定理在Rt△ACD中,∵AC2=AD2+CD2,∴802=AD2+482,∴AD=64m.故当点D距点A64m时,水渠的长度最短.点拨用数学知识解决问题的关键是运用数学建模思想,将实际问题转化为数学问题,这里特别注意弄清实际生活语言与数学语言间的关系.栏目索引17.2勾股定理的逆定理1.(2019河南郑州外国语学校开学考试)下列命题的逆命题为真命题的是 ()A.如果a=b,那么a2=b2B.无理数是无限小数C.对顶角相等D.两直线平行,同旁内角互补答案DA.逆命题为如果a2=b2,那么a=b,为假命题;B.逆命题为无限小数是无理数,是假命题;C.逆命题为相等的角是对顶角,是假命题;D.逆命题为同旁内角互补,两直线平行,是真命题,故选D.过关斩将栏目索引17.2勾股定理的逆定理2.下列四组数:(1)0.6,0.8,1;(2)5,12,13;(3)8,15,17;(4)4,5,6.其中是勾股数的组数为 ()A.1B.2C.3D.4答案B(1)中各数不全是正整数;(2)中52+122=132;(3)中82+152=172;(4)中42+52≠62.故有2组勾股数.栏目索引17.2勾股定理的逆定理3.(2017天津红桥期中)如图17-2-2,四边形ABCD中,AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,DA=13cm,且∠ABC=90°,则四边形ABCD的面积为 () 图17-2-2A.6cm2B.30cm2C.24cm2D.36cm2栏目索引17.2勾股定理的逆定理答案C如图,连接AC,∵∠ABC=90°,AB=4cm,BC=3cm,∴AC=5cm,∵CD=12cm,DA=13cm,∴AC2+CD2=52+122=169=132=DA2,∴△ADC为直角三角形,∴S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC= AC·CD- AB·BC1212= ×5×12- ×4×3=30-6=24(cm2).故选C.1212栏目索引17.2勾股定理的逆定理4.(2019山东滨州一模,10,★★☆)△ABC中,AB=7,BC=24,AC=25.在△ABC内有一点P到各边的距离相等,则这个距离为 ()A.1B.2C.3D.4答案C∵△ABC中,AB=7,BC=24,AC=25,∴AB2+BC2=72+242=252=AC2,∴∠ABC=90°,连接AP,BP,CP.过点P分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为E,F,G.设PE=PF=PG=x,则S△ABC= AB·x+ AC·x+ BC·x= (AB+BC+AC)·x= ×56x=28x,又S△ABC= AB·CB=84,∴28x=84,解得x=3.故选C.121212121212