深圳高级中学2012届高三上第一次测试数学（理科）试题

深圳高级中学2012届高三上学期第一次测试数学（理科）试题本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。1．已知集合,,02|2RxaxxxA且A,则实数a的取值范围是A.1aB.1aC.1aD.a12.当Rx时，下列各函数中，最小值是2的是A．422xxyB．xxy16C．21222xxyD．xxy13．已知平面向量3,xa与向量2.3b垂直，则x的值是A．3B．2C．－2D．－34．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为A．81B．120C．168D．1925．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y＝21x，则该双曲线的离心率e＝A．5B．5C．25D．456．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥，n∥，则m⊥n；②若∥，∥，m⊥，则m⊥；③若m∥，n∥，则m∥n；④若⊥，⊥，则∥。其中正确命题的序号是A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④7．若椭圆12222byax(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线bxy22的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为A．1617B．41717C．45D．2558．设函数)(1)(Rxxxxf，区间M=[a，b](ab)，集合N={Mxxfyy),(}，则使M=N成立的实数对(a，b)有A．0个B．1个C．2个D．无数多个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9．在四面体OABC中，OAOBOCD，，，abc为BC的中点，E为AD的中点，则OE（用，，abc表示）．10．在ABC△中，角ABC，，所对的边分别为abc，，,且4sin,3cosAbBa则a.11．若函数f(x)=a2bx在[0,+∞)上为增函数,则实数a、b的取值范围是.12．过抛物线)0(22ppxy的焦点F斜率为K的直线交抛物线于A、B两点，若直线AB的倾斜角为锐角，BFAF2，则K=。13．曲线23112224yxyx与在交点处切线的夹角是______（用度数作答）14．已知点P在直线0104yx上,O为坐标原点,)1,3(A,则APOP的最小值为.三．解答题：本大题共6小题，满分80分。解答题须写出文字说明、证明过程和演算步骤。15．（本题满分12分）设函数f(x)=ba，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x)，x∈R.（1）若f(x)=1-3且x∈[-3，3]，求x；（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|2)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值。16．（本题满分13分）已知函数xxaxxfln)(（a为常数）（1）当5a时，求)(xf的极值；（2）若)(xf在定义域上是增函数，求实数a的取值范围。17．（本题满分13分）如图所示，在四面体，，，，中，PCPBBCACPBBCPAABCP2ABCP是060的二面角。（1）求证：ABPC；（2）求四面体ABCP的体积。18．（本题满分14分）已知P（1，31）是函数)1,0()(aaaxfx的图象上一点，等比数列na的前n项和等于cnf)(，数列)0(nnbb的首项为c，且前n项和nS满足)2(11nSSSSnnnn（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若数列11nnbb的前n项和为nT，问满足20091000nT的最小正整数n是多少？19．（本题满分14分）（1）已知点A（0,23）、B（3，0），动点M到A与B的距离比为常数21，求点M的轨迹方程。（2）求与圆1)1(22yx外切，且与直线03yx相切于点)3,3(Q的圆的方程。20．（本题满分14分）已知}{na是等差数列，d为公差且不等于0，1a和d均为实数，它的前n项和记作nS，设集合}|),{(*NnnSaAnn，},,141|),{(22RyxyxyxB，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明．（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上；（2）BA至多有一个元素；（3）当01a时，一定有BA．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分共计40分）12345678DDCBCADA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．cba41412110．511．0:0ba12．2213．04514．25三、解答题（本大题共6小题，满分共80分）15．（本小题满分12分）解:1)62sin(22sin32cos12sin3cos2)(2xxxxxxf4分(1)依题意311)62sin(2)(xxf,∴23)62sin(x,∵3,3x∴65,262x∴362x,∴4x8分(2)函数y=2sin2x的图象平移后为y=2sin2(x-m)+n;对照1)62sin(2)(xxf得)(622Zkkm;n=1又∵2m∴1;12nm12分16．（本小题满分13分）（I）a=5时，f(x)=错误!未找到引用源。，2分∴f’(x)=1-错误!未找到引用源。(x0)，=错误!未找到引用源。4分x0x错误!未找到引用源。x=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。x4x=4x4f’(x)+0-0+f(x)递增极大值f(错误!未找到引用源。)递减极小值f(4)递增∴f(x)极大=错误!未找到引用源。，f(x)极小=-6+ln4。8分（2）解法一：∵f(x)在定义域（0，+∞）上是增函数，∴f’(x)≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即错误!未找到引用源。，∴错误!未找到引用源。。10分又错误!未找到引用源。（当且仅当x=1时，错误!未找到引用源。），∴（错误!未找到引用源。）min=2，∴a∈（-∞，4]。13分解法二：令t=错误!未找到引用源。，则g(t)=f’(x)=错误!未找到引用源。(t0),错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。，10分解得，a≤0或0a≤4,∴a∈（-∞，4]。13分17．（本小题共13分）（1）证明：作PO⊥面ABC于O，连接AO、BO。因为PA⊥BC，所以AO⊥BC，PB⊥AC，BO⊥AC，故O是△ABC的垂心。连接CO，有CO⊥AB，所以PC⊥AB。5分（2）解：延长AO交BC于D，得AD⊥BC，故PD⊥BC，所以∠PDO是面PBC与面ABC所成角的平面角。7分因为PB=PC，所以D是BC的中点，故AB=AC。在Rt△PDO中，PO=ODtan60°=错误!未找到引用源。OD。9分在Rt△ADC与Rt△CDO中，因为∠DAC=∠DCO，所以△ADC≈△CDO，故有错误!未找到引用源。，即AD·OD=2241=111分33441263263213131DOADADBCPOSPOVABCABCP故错误!未找到引用源。。13分18．（本小题满分14分）(1)因为点（1，错误!未找到引用源。）是函数f(x)=ax(a0，且a≠1)的图象上一点，故f(1)=a=错误!未找到引用源。。即f(x)=(错误!未找到引用源。)x。设等比数列|an|的前n项和为An，依题意，得An=f(n)-c=(错误!未找到引用源。)n-c，所以当n=1时，a1=错误!未找到引用源。-c。当n≥2时，an=An-An-1=(错误!未找到引用源。)n-(错误!未找到引用源。)n-1=-错误!未找到引用源。n-1。3分由数列｛an｝为等比数列，可知a1=错误!未找到引用源。-c=-错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。）1-1解得c=1，所以数列｛an｝的通项公式为an=错误!未找到引用源。n-1=-2错误!未找到引用源。n，n∈N*，5分数列｛bn｝（bn0）的首项为b1=c=1.而前n项和Sn满足Sn-Sn-1=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(n错误!未找到引用源。2)整理得（错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。）（错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。）=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。.由bn0可知Sn0,所以错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。0，所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。又因为S1=b1=1,即错误!未找到引用源。=1.所以数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，错误!未找到引用源。=1+(n-1)错误!未找到引用源。1=n,所以Sn=n2.当n错误!未找到引用源。2时，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.又当n=1时，b1=2错误!未找到引用源。1-1=1符合以上公式。所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1(n错误!未找到引用源。N*).9分(2)由（1）知错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.所以Tn=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(1-错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。.令Tn=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，解得n错误!未找到引用源。=111错误!未找到引用源。的最小正整数n是112.14分19．（本小题满分14分）(1)解:设),(yxM,则21)3()23(2222yxyx3分两边平方整理得:1)1(22yx5分(2)解:设所求圆方程为222)()(rbxax依题意有13333231)1(22abrbarba9分∴)4(3ab代入前两个等式得：321)1(22aba（1）当3a时，有222)52()4(3)1(aaa解得2,0,4rba11分（2）当3a时，有222)27()4(3)1(aaa解得6,34,0rba综上所述：36)34(;4)4(2222yxyx14分20．（本小题满分14分）【解】（Ⅰ）正确．因为，在等差数列}{na中，2)(1nnaanS，所以，21nnaanS．这表明点),(nSann的坐标适合方程)(211axy．所以，点),(nSann均在直线)(211axy上．…………………4分（Ⅱ）正确．设BAyx),(，则),(yx坐标中的x、y应是方程组14,2121221yxaxy的解．解这个方程组，消去y，得42211axa．（﹡）当01a时，方程（﹡）无解，此时，BA．………………………6分当01a时，方程（﹡）只有一个解12124aax，此时方程组也只有一个解，即.44,24121121aayaax故上述方程组至多有一解，所以BA至多有一个元素．………………9分（Ⅲ）不正确．取11a，1d，对一切*Nn，有0)1(1ndnaan，0nSn．这时集合A中的元素的点的横、纵坐标均为正．另外，由于011a，如果BA，那么根据（Ⅱ）的结论，BA至多有一个元素（00,yx），而025241210aax，043441210aay．这样的Ayx),(00，产生矛盾．所以，11a，1d时，BA，故01a时，一定有BA是不正确的．…………………………14分