余弦定理(第一课时)-(1)

正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。CRcBRbARasin2,sin2,sin2变型：BAbaBACBAcbasinsinsin:sin:sin::课前准备学科网学习目标1、以向量为载体，通过向量的运算了解余弦定理的推导过程2、通过例1的探究学生能够应用余弦定理熟练解决“已知三角形的两边及夹角求解三角形”的问题3、通过例2的探究学生能够应用余弦定理解决“已知三角形的三边长求解三角形”的问题4、通过探究三，学生会利用余弦定理判断三角形的形状学科网【课标要求】1．通过对任意三角形边长和角度的探索掌握余弦定理．2．会借助余弦定理解决一些简单的三角形度量问题﹚Abccbacos2222﹚问题引领：若△ABC为任意三角形，已知角C，边a,b,求边c.cABbCAaCB,,设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac﹚Baccabcos2222余弦定理Abccbacos2222babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222问题引领：若△ABC为任意三角形，已知角C，边a,b,求边c.cABbCAaCB,,设bac向量法)()(babaccc2余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222利用余弦定理可以解决什么类型的三角形问题？CBAbac归纳余弦定理已知三边,怎样求三个角呢？Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：CBAbac思考1：探究一、已知三角形的两边及夹角求解三角形1ABC3,23,30,bcABCa例、在中，已知求角、和边的值Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a得由正弦定理BbAasinsin233213sinBsinaAb330cos323232322CABabc60,Bcb90180CBA13,1,60,________bcAa、若则2ABCAB2BC13cos,AC_____4C、在中，，，则72变式：CBAbac3.,,2,1,4ABCABCBACABBCBC在中，内角，满足且，求边上的高线及中线的长例2、在△ABC中，已知a=,b=2,c=解三角形(依次求解A、B、C).解：由余弦定理得22222223161222231()()cos()bcaAbc60A45B180180604575CAB631探究二、已知三角函数的三边解三角形22)13(622)13()6(2cos222222acbcaB__________,2,1,3.1AcbaABC则中，若在三角形30120.13545.60.________,.2222DCBACabbcaABC或的大小为则角中，在三角形60变式：A60212cos2cos222222CababCabbcaabcbaC解析：CBAbac学习目标1、通过课前测试复习余弦定理及其变形公式的应用；2、通过决问题引领和自主探究掌握用“用大角的余弦值”判断三角形形状的方法；3、通过能力提升归纳并掌握判断三角形形状的两种常用方法。学科网由推论我们能判断三角形的角的情况吗?bcacbA2cos222推论：CBAbac问题引领：提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形0222acb△ABC是锐角三角形0222acb△ABC是直角三角形0222acb例、在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）222cbaＡ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定那呢?222cba自主探究拓展：1.三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（）Ａ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定2222.,,,,22,ABCABCabcababABCA在中，内角的对边分别为，且2c则是（）钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．3能力提升在△ABC中，已知cos2A2＝b＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．解法一在△ABC中，由已知cos2A2＝b＋c2c，得1＋cosA2＝b＋c2c，∴cosA＝bc.根据余弦定理，得b2＋c2－a22bc＝bc.∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．法二在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，b＝2RsinB，c＝2RsinC，由cos2A2＝b＋cc知，cosA＝bc.∴cosA＝sinBsinC，即sinB＝sinCcosA.∵B＝π－(A＋C)，∴sin(A＋C)＝sinCcosA，∴sinAcosC＝0.∵A，C都是△ABC的内角，∴A≠0，A≠π.∴cosC＝0，∴C＝π2.∴△ABC是直角三角形．在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)sinA，判断△ABC的形状．【变式3】∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，故三角形为等腰三角形或直角三角形．解法一由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为a－c·a2＋c2－b22acb＝b－c·b2＋c2－a22bca，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，法二由正弦定理，原等式可化为(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，∴sinBcosB＝sinAcosA，∴sin2B＝sin2A，∴2B＝2A或2B＋2A＝π，∴A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．π2小结:222cos2bcaAbc222cos2cabBca222cos2abcCab判断三角形形状的方法：1、把边转化成角；2、把角转换成边。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：推论: