(参考答案)弹性力学

弹性力学参考答案第二章2.6⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=nmlZnmlYnmlXzyzxzvzyyxyvzxyxxvστττστττσ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+−+==−++==++=55555510*16.187-10*)2/1*)300(2/1*)750(2/1*800(10*33.280-10*)2/1*)750(2/1*02/1*500(10*77.106510*)2/1*8002/1*5002/1*500(vvvZYX5522222210*73.111710*)16.187()33.280(77.1065=−+−+=++=vvvvZYXF5510*34.26010*)2/1*)16.187(2/1*)33.280(2/1*77.1065(=−+−+=++=nZmYlXvvvvσ55222210*1086.9910*34.26073.1117=−=−=vvvFστ2.9设该点的主应力为321,,σσσ，且321σσσ≥≥，将坐标方向取为与主应力方向相同，并设任一微分面上的方向余弦为l,m,n。该微分面上的法向应力为：232221nmlnfmflfvzvyvxvσσσσ++=++=与1222=++nml联立，得到：12312211])()[(σσσσσσσ≤−+−−=nmv32322313])()[(σσσσσσσ≥−+−+=mlv因此，在所有微分面上的正应力中，最大和最小的是主应力。2.10⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧321000000σσσ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅=⋅+⋅+⋅=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅=⋅+⋅+⋅=332211313103103131031310313103103131σσσσσσvvvZYX23222122231σσσ++=++=vvvvZYXF)(31313131313131321321σσσσσσσ++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=v3)(29/)(3/)(323121232221232123222122σσσσσσσσσσσσσσσστ−−−++=++−++=−=vvvF2-12解：在0=y处，qy−=σ得：qAB−=（1）斜面上，βtan−=xy，有：0,cos,sin=−=−=nmlββ根据应力边界条件：jijinfσ=⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=00mlfmlfyxyyxyxxσττσ（2）将应力表达式代入（2）中，并结合（1），解得：ββtan−=qA，ββ−=tanB，β−=C2-13解：在0=x处，gyByx1ρσ−==0=−=Ayxyτ背水面，βtan=yx，外法线方向：βcos=l，βsin−=m，0=n根据应力边界条件：⎪⎩⎪⎨⎧=+++==++−=0sin)(cos)(0sin)(cos)(1ββρβρβρDyCxgxDxfgxDxgyfyx由以上各式解得：0=A，gB1ρ−=，ββρρcot)cot2(21ggC−=，ggDρβρ−=21cot第三章3-5设在oxy坐标系下三个应变分量分别为xε，yε，xyγ，则根据式（3-11）（吴家龙，弹性力学P39），得到任意方向上的应变为lmmlxyyxrγεεε++=22Oa方向（l=1,m=0）上的应变为xaεε=(1)Ob方向（l=1/2,m=3/2）上的应变为2321)23()21(22⋅++=xyyxbγεεε(2)Oc方向（l=-1/2,m=3/2）上的应变为23)21()23()21(22⋅−++−=xyyxcγεεε(3)联立式(1)、(2)、(3)得到：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−+==)(332322cbxyacbyaxεεγεεεεεε则平面应变上任意方向的伸长率为：)2sin()(33sin322cos2222αεεαεεεαεγεεεαcbacbxyyxrlmml−+−++=++=3-7解：方程032213=−+−JJJεεε其中，11372110-7.125,1015.3,0014.0−−×=×==JJJ求解上述方程，得到三个主应变大小及各主应力大小及方向如下：1）0708879.0,2062379.0,9759308.0,001024764.01111m=±=±==nmlε；2）2158919.0,9520288.0,2168684.0,000511236.02222±==±==nmlmε；3）9738406.0,2260689.0,0229623.0,000136.03333±=±=±=−=nmlε。3-11由应变协调方程，有：yxzyxxzxzyxxzyzyxxyxyxzxxzzyzyzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxyxyxzzxyzyz∂∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂+∂∂∂∂∂∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂−∂∂∂∂∂∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂−∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂εγγγεγγγεγγγγεεγεεγεε222222222222222222222将根据题中的应变代入上式（1）（2）式满足，根据（4）－（6）式，得到022=+AxAy；02=By；02=−By；ABy=2于是得0==BA，即应变均为零，因此，给出的应变分量不可能发生。第四章4-1解：令橡皮杨氏模量的泊松比分别为ν,E建立坐标系，x轴垂直指向纸外，y轴与z轴分别水平向右和竖直向上。有：qz−=σ，0===xzyzxyτττ，0==yxεε根据广义胡克定律：[][]⎪⎩⎪⎨⎧=−+−==−+−=0))((10))((1qEqExyyyxxσνσεσνσε解之，qvvyx−−==1σσ。[]vvvEqEyxzz−−+⋅=+−==112)(12σσνσεθ由于无切应力，可知该坐标轴方向为主应力方向。因为一般情况下5.00v，故zyxσσσ=qvvzx)1(2212max−−=−=σστ第五章5-3根据叠加原理，由图示受力情况，可假设：1qx=σ，2qy−=σ，0=xyτ，0=zσ（1）该组应力显然满足平衡方程；（2）边界条件：侧面⎪⎩⎪⎨⎧−==±=±=21qqbyyaxxσσ，⎪⎩⎪⎨⎧==±=±=00byyxaxxyττ可见边界条件满足，同时，上下面的边界条件显然也满足。（3）代入B-M方程，满足应变协调条件。故该组应力适合作为本问题的解。[]EqqExuzyxx21)(1νσσνσε+=+−==∂∂),(121zyfxEqqu++=ν（1）[]EqqEyvzxyy12)(1νσσνσε+−=+−==∂∂),(212zxfyEqqv++−=ν（2）[]EqqEzwyxzz)()(121−−=+−==∂∂νσσνσε),()(321yxfzEqqw+−−=ν（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂+∂∂===∂∂+∂∂===∂∂+∂∂000GzvywGxwzuGxvyuzyzyxzxzxyxyτγτγτγ（4）将（1）－（3）代入（4），得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂000233112zfyfxfzfyfxf（5）将阶次升高，得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=∂∂∂=∂∂000000000232322322222222221212212yfzxfxfzfzxfxfzfzyfyf故：CBzAyzyf++=),(1FEzDxzxf++=),(2IHyGxyxf++=),(3代入式（5），得到：A+D=0;B+G=0;H+E=0CBzAyxEqqu++++=21νFEzAxyEqqv++−+−=12νIEyBxzEqqw+−−−−=)(21ν根据中心的边界条件，控制平动：00====zyxu——C=000====zyxv——F=000====zyxv——I=0控制转动：00=∂∂===zyxzu——B=000=∂∂===zyxzv——E=000=∂∂===zyxyu——A=0最后得：xEqqu21ν+=yEqqv12ν+−=zEqqw)(21−−=ν5-4由该半无限体的受力特征，可知物体在水平面内应力均匀分布。可设)(zfz=σ，水平面的应变分量为0，0===xyyxγεε。水平面在变形后仍为平面，不发生翘曲，故0==zyzxγγ。由0)]([1=+−=zyxxEσσνσε，得zyxσννσσ−==1由协调方程02=Θ∇0)(22=++∂∂zyxzσσσ，故022=∂∂zf所以BAzzfz+==)(σ，0===yzxzxyτττ代入平衡方程，前两式显然满足。对于第三式，0,=+zzzFσ，故gAρ−=边界条件：qzz−==0σ，故qB−=所以qgzz−−=ρσ，)(1qgzyx+−−==ρννσσ0==∂∂xxuε，故0=u0==∂∂yyvε，故0=v)(121)]([12qgzEEzwyxzz−−−−=+−==∂∂ρννσσνσε故：CqzgzEw+−−−−=)21(12122ρνν假设变形在无限体h深处停止边界条件：0==hzw所以：)21(12122qhghEC+−−=ρνν所以，得到最终结果为：)]()(21[121222zhqzhgEw−+−−−=ρνν也可写为:)](2)([)1(42122zhqzhgGw−+−−−=ρνν第六章6-7设)(xyfx=σ，则)(22xyfyUx=∂∂=σ，故)()()(613xyxgyxfUϕ++=022=∇∇U故044=∂∂xf，044=∂∂xϕ，022244=∂∂+∂∂xfxg所以：432231)(CxCxCxCxf+++=2231)(xDxDx+=ϕxExExExCxCxg32231425126610)(+++−−=故：2231322314251332231]26610[][61xDxDyxExExExCxCyCxCxCxCU+++++−−++++=得：yCxCxCxCx)(432231+++=σ2121223132126)22()26(61DxDyExExCxCyCxCy++++−−++=σ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−−+++−=32213241232212322)23(21ExExExCxCyCxCxCxyτ由边界条件：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==−===∫−=±==−==220212200000hhyxyhxxyhxxhxxyydxgyττρσσσ得：3112hgCρ=，02=C，hgC2313ρ−=，214gCρ−=，01=D，02=D，hgE5311ρ=，gEρ−=2，8013ghEρ−=所以，得到最终结果为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=80413103534221232122213311331331331ghhxyhghxhxgxgyxyhgyxhghgxyhxhxgyxyyxρρρτρρρρσρσ6-9取应力函数为33CxyBxyAyU++=022=∇∇UCxyAyyUx6622+=∂∂=σ022=∂∂=xUyσ)3(22CyByxUxy+−=∂∂∂−=τ分两种解法解法1：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===±=±=−=∫0022220hxxyhyyhhxxMydyτσσ得到：32hMA=，BhC234=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+−==−=BhyBBxyhyhMxyy2223x40812τσσ代入物理方程，得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=ByhEGEBxyhyhMEBxyhyhMxyxyy222323x41)1(2812812ντγνεε代入到几何方程，得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=ExBxyhyhMvEyfyBxhxyhMu)(46)(4122223223ϕν代入到xvyuxy∂∂+∂∂=γ，得：dydfByhByhdxdBxhhMx+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++=++−222222341)1(24412ννϕν若要等式成立，须使DdydfByhByhdxdBxhhMx=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++=++−222222341)1(24412ννϕν于是：FxDBxhxhMx++−=νννϕ3223346)(GDyyhyB