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初二数学联赛班八年级1思维的发掘能力的飞跃第2讲矩形和菱形知识总结归纳一.矩形的定义:定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形,矩形也是我们通常所称的长方形.二.矩形的性质:(1)矩形具有平行四边形的所有性质.(2)矩形的对角线相等.(3)矩形的四个角都是直角.(4)矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.三.矩形的判定:(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.四.直角三角形的一条重要性质:(1)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.(2)性质可以用来解决有关线段倍分的问题.五.菱形的定义:定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形六.菱形的性质:(1)菱形具有平行四边形的所有性质.(2)菱形的四条边相等.(3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.七.菱形的判定:(1)由定义判定:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(2)由对角线判定:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(3)由边的关系判定:四条边相等的四边形是菱形.初二数学联赛班八年级2思维的发掘能力的飞跃典型例题一.矩形【例1】已知矩形的对角线长为13,周长为34,求这个矩形的面积.【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于O,且120AOD,12cmAC,求AB的长.【例3】如图,在ABC△中,ABAC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形.求证:四边形ADCE是矩形.【例4】如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,试说明:四边形EFGH是矩形.ODCBAEDCBAODCABHGFE初二数学联赛班八年级3思维的发掘能力的飞跃【例5】如图,在ABC△中,ABAC,AD、AE分别是BAC与BAC的外角的平分线,CEAE,求证:ACDE.【例6】如图,在矩形ABCD中,16AB,8BC,若将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,CE与AB交于点F,求AF的长.【例7】如图,折叠矩形ABCD的边AB,使点B落在AC上的点F处,折痕为AE,若1AB,2BC,求BE的长.【例8】如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,将ABE△折叠后得到EBG△,延长BG交CD于点F,若1CF,2FD,求BC的长.EDCBAFCDFEBAEDCBAFFDCBAGE初二数学联赛班八年级4思维的发掘能力的飞跃二.直角三角形的斜边中线【例9】如图,已知平行四边形ABCD,AC、BD相交于点O,P是平行四边形ABCD外一点,且90APCBPD.求证:平行四边形ABCD是矩形.【例10】如图,平行四边形ABCD中,DE⊥AB于E,BM=MC=DC.求证:∠EMC=3∠BEM.【例11】如图,在ABC△中,ABAC,BD平分ABC,DEBD,垂足为D,DE交BC于点E.求证:12CDBE.ABCDEFMODCBAPEDCBA初二数学联赛班八年级5思维的发掘能力的飞跃【例12】如图,ABC△的边BC的中点为N,过A的任一直线ADBD与D,CEAD于E.求证:NEND.【例13】如图,分别以ABC△的AC、BC边为腰,A、B为直角顶点,作等腰直角ACE△和等腰直角BCD△,M为DE中点,求证:AMBM.【例14】如图,已知五边形ABCDE中,90ABCAED,BACEAD,M为CD的中点,求证:MBME.ENCBADBAEDCMBMDCEA初二数学联赛班八年级6思维的发掘能力的飞跃三.菱形【例15】如图,菱形ABCD中,60B,2cmAB,E、F分别是BC、CD的中点,连AE、EF、AF,求AEF△的周长.【例16】如图所示,在菱形ABCD中,AC与BD交于O,6AC,8BD,求菱形ABCD的面积.【例17】如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PEAB于点E,4cmPE,则点P到BC的距离是多少?【例18】如图,用两张等宽的纸带交叉重叠地放到一起,重合的四边形ABCD是菱形吗?如果是菱形请给出证明,如果不是菱形请说明理由.FDBCAEOCBADEDCBAPDCBA初二数学联赛班八年级7思维的发掘能力的飞跃【例19】如图,在ABCD□中,EF经过对角线的交点O,且EFAC分别交CD、AB于E、F.试说明四边形AECF是菱形.【例20】如图,在ABC△中,90ACB,AD是BAC的平分线,交BC于D,CH是AB边上的高,交AD于F,DEAB于E,求证:四边形CDEF是菱形.【例21】如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BEAB,连CE.(1)求证:BDEC;(2)若50E,求BAO的大小.【例22】如图,在菱形ABCD中,E为AB上一点,DE交AC于F.求证:FBCAED.OFEBCDAEHBDCAFCDEBAFBADCE初二数学联赛班八年级8思维的发掘能力的飞跃【例23】延长菱形一边DC至E,使CEDC,FG、在BC上,且BFCG,又14FABDAB,AF交对角线BD于H,求证:2FHCCEG。思维飞跃【例24】设凸四边形的4个顶点满足条件:每一点到其他3个点的距离之和都相等.试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论.【例25】已知,ABC△中,2BC,M是BC中点,ADBC于D.求证:12DMAB.【例26】如图所示,矩形ABCD内一点P到A、B、C的长分别是3、4、5,求PD的长.PDCBAMDCBADGFHCBAE初二数学联赛班八年级9思维的发掘能力的飞跃【例27】如图,已知矩形ABCD中,CEBD于点E,延长EC,与BAD的平分线AF相交于点F,求证:CFBD.【例28】如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M、N分别是AB、BC边的中点,MPNP的最小值是多少?【例29】如图,在矩形ABCD中,E为CB的延长线上一点,且ACCE,F为AE的中点.求证:BFFD.EAFDCBCBADPNMDCEBAF初二数学联赛班八年级10思维的发掘能力的飞跃【例30】如图,在ABCD□中,2ABAD,F为AB的中点,CEAD交AD(或延长线)于E.求证:3BFEAEF.作业1.如图,在ABCD□中,AC、BD相交于点O,且AOB使等边三角形,边长为2,求BC的长.2.如图,在矩形ABCD中,3AB,4BC,若将矩形折叠,使点与点B重合,求折痕EF的长.3.如图,矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠,使点D落在BC上的F处,已知6AB,ABF△的面积是24,求FC的值.EDCBAFFDEBACODCBAFCBDAE初二数学联赛班八年级11思维的发掘能力的飞跃4.能判定一个四边形是菱形的条件是()A.对角线互相平分且相等B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相垂直且对角相等D.对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角5.已知菱形周长为24,一条对角线长为8,求菱形的面积.6.ABC△中,分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN,P是BC的中点,求证:PM=PN.7.如图,在ABC△中,D是BC边的中点,E、F分别在AD及其延长线上,CEBF∥,连BE、CF.(1)求证:BDFCDE≌.(2)若ABAC,求证:四边形BFCE是菱形.CBAMNPCBAFDE初二数学联赛班八年级12思维的发掘能力的飞跃8.已知:锐角三角形ABC中,BD、CE是两条高,F、G分别是BC、DE的中点,求证:FG垂直平分DE.9.如图所示,在ABC△中,90BAC,ADBC于D,BE平分ABC,交AD于点M,AN平分DAC,交BC于点N.求证:四边形AMNE是菱形.10.如图在矩形ABCD中,已知12AD,5AB,P是AD边上任意一点,PEBDPFAC,,E、F分别是垂足,求PEPF的值.11.如图,已知P是ABC△内一点,PEAB,PFAC,D是BC的中点,PBFPCF,求证:DEDF.OPABCDEFPFEDACBGABDECFCDBANME
本文标题:初中数学竞赛——矩形和菱形
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