人教版平面向量的数量积及平面向量的应用

平面向量的数量积及平面向量的应用【知识梳理】1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cosθ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[来源:学科网ZXXK]3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0【问题思考】1．若a·b＝a·c，则b＝c吗？为什么？提示：不一定．a＝0时不成立，另外a≠0时，由数量积概念可知b与c不能确定．[来源:学科网]2．等式(a·b)c＝a(b·c)成立吗？为什么？提示：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．[来源:学§科§网Z§X§X§K]3．|a·b|与|a|·|b|的大小之间有什么关系？提示：|a·b|≤|a|·|b|.因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a|·|b|.【基础自测】1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，[来源:Zxxk.Com]∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.又∵|a|＝|b|，∴2cosθ＋1＝0，即cosθ＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，即a与b的夹角为120°.2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝()A．－1B．－12C.12D．1解析：选D∵a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，∴2－x＝1，即x＝1.3．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝()A.2B.3C.5D.7解析：选B|a＋2b|＝a＋2b2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1＋4×－12＋4＝3.4．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝12，由b·c＝0，得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以12t＋(1－t)＝0，所以t＝2.5．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________.解析：选向量的基底为AB，AD，则BD＝AD－AB，AE＝AD＋12AB，那么AE·BD＝12ADAB·(AD－AB)＝2.【考点分析】【考点一】平面向量数量积的概念及运算[例1](1)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.322B.3152C．－322D．－3152(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________．[解](1)∵A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)，∴AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，因此cos〈AB，CD〉＝ABCDABCD＝31010，∴向量AB在CD方向上的投影为|AB|·cos〈AB，CD〉＝5×31010＝322.(2)以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(2，0)，E(2，1)，D(0,2)，C(2，2)．设F(x，2)(0≤x≤2)，由AB·AF＝2⇒2x＝2⇒x＝1，所以F(1,2)，AE·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝2.【互动探究】在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求DE·CB的值及DE·DC的最大值．解：以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，设E(a，0)，0≤a≤1.DE·CB＝(a，－1)·(0，－1)＝a×0＋(－1)×(－1)＝1.DE·DC＝(a，－1)·(1,0)＝a＋(－1)×0＝a≤1，故DE·DC的最大值为1.【方法规律】平面向量数量积的类型及求法(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2.(2)求复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．变式：1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又c＝(3，x)，∴(8a－b)·c＝18＋3x＝30，∴x＝4.2．若e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．解析：∵e1，e2的模为1，且其夹角θ＝2π3.∴a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke21＋e1·e2－2ke1·e2－2e22＝k＋(1－2k)cos2π3－2＝2k－52.又∵a·b＝0，∴2k－52＝0，即k＝54.【考点二】平面向量的夹角与模的问题1．平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．2．高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度：(1)求两向量的夹角；(2)两向量垂直的应用；(3)已知数量积求模；(4)知模求模．[例2](1)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．(2)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．(3)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1,则AB的长为________．[解](1)由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－|b|23|b|2＝－13.(2)∵AP⊥BC，∴AP·BC＝0，∴(λAB＋AC)·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AC·AB＝0.∵向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2，∴(λ－1)|AB||AC|·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.(3)法一：由题意可知，AC＝AB＋AD，BE＝－12AB＋AD.因为AC·BE＝1，所以(AB＋AD)·12ABAD＝1，即AD2＋12AB·AD－12AB2＝1.因为|AD|＝1，∠BAD＝60°，所以|AB|＝12，即AB的长为12.法二：以A为原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝12，DM＝32.[来源:学科网ZXXK]设|AB|＝m(m0)，则B(m,0)，Cm＋12，32，D12，32.因为E是CD的中点，所以Em2＋12，32.所以BE＝12－12m，32，AC＝m＋12，32.[来源:学科网]由AC·BE＝1，可得m＋1212－12m＋34＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或12.故AB的长为12.[答案](1)－13(2)5(3)12【方法规律】平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略(1)求两向量的夹角．cosθ＝a·b|a|·|b|，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用．两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模．利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.②|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2.③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.变式：1．若a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：选C2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝32，|a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，则cosα＝932×3＝22，又α∈[0，π]，故α＝π4.2．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析：∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ为a与b的夹角)．∴(k－1)(1＋cosθ)＝0，又a与b不共线，∴cosθ≠－1，∴k＝1.3．已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值为________．解析：∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.∴|2α＋β|＝10.【考点三】平面向量数量积的应用[例3]已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0βαπ.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．[解](1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以cosα＋cosβ＝0，sinα＋sinβ＝1，由此得，cosα＝cos(π－β)，由0βπ，得0π－βπ，又0απ，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝12，而αβ，所以α＝5π6，β＝π6.【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.变式：设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.解：(1)由a与b－2c垂直，得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)证明：由tanαtanβ＝16，得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.小结】1个条件——两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件为：a⊥b⇔a·b＝0.2个结论——与向量夹角有关的两个结论(1)若a·b0，则a与b的夹角为锐角或0°；(2)若a·b0，则a与b的夹角为钝角或180°.4个注意点——向量运算中应注意的四个问题(1)在求△ABC的三