初三数学正弦、余弦和正切知识精讲-湘教版

初三数学正弦、余弦和正切知识精讲湘教版【同步教育信息】一.本周教学内容：正弦、余弦和正切［教学目标］（一）知识与技能1.了解一个锐角的正弦、余弦、正切的概念，能够正确地应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形两边之比。2.熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，会计算含有这三个特殊锐角的直角三角形的边长，会由一个特殊锐角的正弦值、余弦值、正切值说出这个角。3.了解一个锐角的正弦值与它余角的余弦值之间的关系。4.会用计算器计算锐角的正弦值和余弦值。（二）过程与方法：经历探索锐角的正弦值、余弦值与正切值的过程，在探索中总结规律，体验学习的乐趣。（三）情感态度与价值观体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习自信心。［教学重点］1.正弦、余弦、正切的定义。2.特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。3.互余角之间的正弦值、余弦值之间的关系。［教学难点］1.锐角的正弦值、余弦值、正切值的计算。2.综合运用正弦、余弦、正切的关系求直角三角形的边。［主要内容］1.正弦、余弦、正切的定义：（1）如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比，叫做∠A的正弦。记作，即∠的对边斜边sinsinAAAac（2）在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦。记作，即∠的邻边斜边coscosAAAbc（3）在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切。记作，即∠的对边∠的邻边tantanAAAAab当锐角A确定后，这些比值都是固定值。2.特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。3045601222323222123313°°°sincostan如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°设BC＝k，则AB＝2k由勾股定理得ACk3∴°sin30212BCABkkcos303232°ACABkktan30333°BCACkk用同样的方法可求45°、60°角的三角函数值。3.互为余角的正弦、余弦之间的关系：由定义知：，sincosAacBac∴sinA＝cosB即°sincos()AA90同理：°cossin()AA90语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。比如：°°sincos6030cossin5238°°4.同角的三角函数之间的关系：sincos221AAtansincostantan()AAAAA，°1905.0°～90°间正弦值、余弦值、正切值的变化规律：0101sincosAA，在0°～90°间的角：正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）。6.会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值。【典型例题】例1.已知△ABC中，AC＝7，BC＝24，AB＝25，求sinA，cosA，tanA，sinB，cosB，tanB分析：根据正弦、余弦、正切的定义知，应首先判断△ABC是直角三角形。解：∵AC＝7，BC＝24，AB＝25ACBC2222724625AB2225625∴ACBCAB222∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°由三角函数定义得：sinABCAB2425cosAACAB725tanABCAC247由互余角的关系得：sincosBA725cossinBA2425tantanBA1724例2.已知△中，∠＝°，，求，RtABCC90sincostanAAA513分析：可用引进参数法，也可利用同角的正弦、余弦关系求解。法一：如图解：∵sinA513∴设，BCkABk513由勾股定理得：AC＝12k∴cosAACABkk12131213tanABCACkk512512法二：解：∵，sincossin221513AAA∴cossin()()2222115131213AA又∠A为锐角，cosA＞0∴cosA1213tansincosAAA5131213512变式训练：已知在△中，∠＝°，，周长为，求斜RtABCCAcm9051360sin边c的长。提示：可引进参数法。例3.计算：（）°°°°°130124545202022sin(sincos)sincos（）°°°°·°260451451603022sinsintantancos分析：略解：（）原式×°°112122222202022()(sincos)12221212（）原式×2322211133222()()34242132134233112例4.已知锐角满足，求的值。23102cossin分析：把条件式看作关于sinα的一元二次方程，利用解方程求出sinα，再确定α的值。解：∵sincos221∴条件式子可化为：223302cossin即23302sinsin得(sin)(sin)2330∵，∴≠0130sinsin∴23sinsin32∵°，为锐角sin6032∴°60［练习］求适合条件的锐角：（），则121sin（），则223cos（）°，则323103sin()（），则433tan答案：（1）30°（2）30°（3）70°（4）30°例5.如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝6。（1）求sinA，sinB的值。（2）过点C作CD⊥AB于D，求cos∠ACD的值。分析：（1）利用正弦定义来解决。（）求∠，在△中求较麻烦，但利用互余角的关系将2cosACDRtACDCDAC∠ACD转化为∠B则非常简便。解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝6∵ABACBC222∴AB656122∴sinABCAB56156161sinBACAB66166161（2）∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°又CD⊥AB于D，∴∠ACD＋∠A＝90°∴∠B＝∠ACD∴∠coscosACDBBCAB56161例6.如图在△中，∠＝°，，，求的长。ABCA30tanBBCAB1310分析：根据条件知：△ABC不是直角三角形，应添加辅助线，构造直角三角形。解：过C点作CD⊥AB于D，设CD＝x在Rt△ACD中，∠A＝30°∵°tan30CDAD∴ADxx333在△中，RtBCDBCDBDtan13∴BD＝3x又BCCDBD222∴()()103222xxx＝1∴ADx33BDx33∴ABADBD33【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、填空题：1.求值：12602245×°×°sincos___________。2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝2，则cosA＝___________。3.tan10°·tan20°·tan30°·tan70°·tan80°＝___________。4.△ABC中，∠C＝90°，若sinA23，则tanB＝___________。5.(cos)|tansin|451260302°°°＝___________。6.3801tan()°，则＝___________。7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，33ab，则∠A＝___________。8.已知等腰三角形ABC的腰长为43，底角为30°，则底边上的高为___________，周长为___________。二、选择题：9.在△ABC中，若|sin|(cos)AB223202，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A.75°B.90°C.105°D.120°10.当锐角A＞45°时，sinA的值（）A.小于22B.大于22C.小于32D.大于3211.已知09030°°，°sincos，则＝（）A.30°B.60°C.45°D.无法确定12.下列结论中不正确的是（）A.sin'cos'48374120°°B.RtABC△中，∠C＝90°，则sincos221AAC.Rt△ABC中，∠C＝90°，则tansincosBBB·D.Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，则ABbBsin13.如图CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点，若入射角（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足为C、D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tan＝（）A.113B.311C.911D.11914.如果∠A为锐角，且cosA14，则（）A.030°°AB.3045°°AC.4560°°AD.6090°°A15.如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则sin∠ACD＝（）A.43B.34C.45D.35三、解答题：16.计算：（1）(sin)|sinsin|1245260302°°°（2）1260224530302301302sincossincostantan°°°·°°°17.如图Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD1633。求∠B及a、c的值。18.如图在等腰△ABC中，AB＝AC，若AB＝2BC，试求∠B的正弦值和正切值。19.Rt△ABC中，∠C＝90°，方程xAxA23310sinsin·有两个相等的实数根，斜边为c，方程cxxc220也有两个相等的实根，求这个直角三角形的三边的长。20.如图在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC。（1）求证：AC＝BD。（2）若sinCBC121312，，求AD的长。【试题答案】一、填空题：1.382.2553.334.525.2236.50°7.30°8.231283，二、选择题：9.C10.B11.B12.C13.D14.D15.C三、解答题：16.解：（1）原式×()||122223122221223122223（2）原式＝1232222212322331332××××()34123433321217.解：在Rt△ADC中，AC＝8，AD1633又cos∠DACACAD8163332∴∠DAC＝30°又AD平分∠BAC∴∠BAC＝60°，∠B＝30°又b＝8∴c＝16，a＝8318.解：如图，过A点作AD⊥BC于D∵AB＝AC，AB＝2BC∴BDCDAB14设BCaBDaABa24，则，＝在Rt△ABD中，ADABBDaaa2222415()∴sinBADABaa154154tanBADBDaa151519.解：∵方程xAxA23310sinsin·有两个相等的实根∴(sin)(sin)343102AA912402sinsinAA(sin)3202A∴sinA23又方程cxxc220也有两个相等的实根∴()24022c∴c＝1（负值舍去）∵∠C＝90°，∴在Rt△ABC中sinAac23∴ac2323bca22212353()∴abc23531，，20.（1）证明：在Rt△ABD和Rt△ADC中，∴tancosBADBDDACADAC，∠又tancosBDAC∠∴ADBDADAC∴BD＝AC（2）在Rt△ABC中，由sinC1213，设AD＝12k，则AC＝13k∴CD＝5k由（1）知，BD＝AC＝13k，又BC＝12∴13512kk＋，k23∴AD＝8【励志故事】云在低处飞姐姐家在福建山区，那一年，她在家对面的半山腰上办了一个黑木茸种植园。在几万截朽木段里挖孔填菌，让它们自然生发。一年下来，姐姐培植的黑木茸，产量并不高，辛辛苦苦360天，保本都有点困难。后来，姐姐请了一个