大数定律与中心极限定理及其应用

重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用分院数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）班级10数本1班学号201006034109姓名张永东指导教师陈飞翔(讲师)2014年5月10日目录摘要..................................................................................................................................................IABSTRACT...................................................................................................................................II１大数定律的应用....................................................................................................................31.1引言...............................................................................................................31.2预备知识.......................................................................................................31.2.1相关定义...........................................................................................31.2.2切比雪夫不等式及其应用...............................................................41.3几类重要的大数定律的应用.......................................................................41.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用...................................41.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用...............................61.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用...................................61.4大数定律的意义...........................................................................................82中心极限定理的应用..............................................................................................................82.1前言...............................................................................................................82.2几类重要的中心极限定理的应用...............................................................92.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用...........................................92.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用.........................................102.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用....................112.2.4李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用..............143大数定律和中心极限定理的比较应用................................................................................153.1大数定律和中心极限定理的比较应用.....................................................15结论...............................................................................................................................................16致谢...............................................................................................................................................17参考文献......................................................................................................................................18大数定律与中心极限定理及其应用张永东（重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2010级一班重庆万州404000）摘要：大数定律和中心极限定理是概率论中很重要的定理，也是概率论与数理统计联系的关键所在，更是生活中不可缺少的一部分.较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限定理，并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性.但对于它们的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少.本文介绍了几种较为常见的大数定律和中心极限定理，并列举了它们在经济生活、数学分析、信息论等各个不同领域的应用.将理论具体化、将可行的结论用于具体的数学模型中，以使得枯燥的数学理论与实际相结合，使大家对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有了更深的认识.关键词：大数定律;中心极限定理;期望;方差;应用ApplicationofthelawoflargenumbersandthecentrallimittheoremZHANGyong-dong(Grade2010,MathematicsandAppliedMathematics,SchoolofMathematicsandStatistics,ChongqingThreeGorgesUniversity,Wanzhou,Chongqing404000)Abstract:Thelawoflargenumbersandcentrallimittheoremisveryimportantinprobabilitytheorytheorem,anditisnotonlythecontactkeyofProbabilitytheoryandmathematicalstatistics,butalsoanindispensablepartoflife.Manyliteratureshavegiventhedissimilarconditionsofthelawoflargenumbersandcentrallimittheorem.Manyliteratureshavegiventhedissimilarconditionsofthelawoflargenumbers,andhaveobtainedtheastringentusingthelawoflargenumbersandcentrallimitingtheorems.Butherehasnomanyresultsinpracticallifeandapplicablescope.HereIintroduceseveralkindsoflawsoflargenumbersandcentrallimittheorems,thenthispaperenumeratessomedifferentapplicantsineconomiclife,mathematicsandinformationtheoryandsoon.Itmakestheoryconcretely,andconsiderssomeconcretemathematicalmodel,andsomakesmathematicaltheoryreality,thuswecanhavedeeperunderstandingonthelawoflargenumbersandthecentrallimitingtheorem.Keywords:Thelawoflargenumbers,Centrallimittheorem,Expectation,Variance,Application2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）１大数定律的应用1.1引言生产、生活及科学实验中的风险事故都具有不确定性，或者称为随机性.但是，任何事情的发生、发展都具有一定的客观规律.如果各种条件都能预知,则事物发生的结果也能予以正确地测定，此时虽然风险事故仍然存在，损失仍然会发生，但是，随机性将因此消失.如果有大量的事例可供考察研究，则这些未知的、不确定的力量将有趋于平衡的自然倾向，那些在个别事例中存在的随机风险将在大数中消失，这种结论就是概率论中的大数定律.它的结论也可叙述为：大量的随机现象由于偶然性相互抵消而呈现出某种必然的数量规律.1.2预备知识1.2.1相关定义在介绍大数定律之前,先介绍几个相关定义：定义1设),2,1(nn为概率空间),,(PF上定义的随机变量序列（简称随即序列）,若存在随即变数使对任意0＞，恒有：0limnnp或1limnnp,则称随即序列｛n｝依概率收敛于随机变量（也可以是一个常数），并用下面的符号表示：)(limpnn或pn定义2设n为一随即序列,数学期望)(nE存在,令niinn11,若)()(limPoEnnn，则称随机序列n服从大数定律，或者说大数法则成立.定义3设)(xFn是分布函数序列，若存在一个非降函数)(xF,对于它的每一连续点x,都有)()(limxFxFnn,)()(xFxFwn，则称分布函数序列)(xFn弱收敛于)(xF.定义4设),2,1)((nxFn,)(xF分别是随机变量),2,1(nn及的分布函数,若)()(xFxFwn,则称n依分布收敛于亦记为Ln且有：(1)若pn则Ln；(2)设c为常数,则cpn的充要条件是cLn.张永东：大数定律和中心极限定理的应用第4页共12页1.2.2切比雪夫不等式及其应用切比雪夫不等式：设随机变量X具有有限数学期望和方差2,则对于任意正数,如下不等式成立，22XP或有221XP这个不等式可解释为：对任意给定的正常数,可以作出两个区间),(和),(，不等式表示,在一次试验中,随机变量的取值落在),(),(的概率小于等于22.切比雪夫（Chebyshev）不等式的应用：（1）已知期望和方差,我们就可以利用切比雪夫不等式估计在期望的邻域