大数定理与中心极限定理的关系及应用汇总

本科生毕业论文（设计）题目大数定律与中心极限定理的关系及应用姓名学号院系数学科学学院专业数学与应用数学指导教师职称2013年4月16日曲阜师范大学教务处制2目录摘要……………………………………………………………………………………3关键词…………………………………………………………………………………3Abstract………………………………………………………………………………3Keywords……………………………………………………………………………3引言……………………………………………………………………………………31大数定律与中心极限定理的关系…………………………………………………41.1预备知识…………………………………………………………………………41.1.1大数定律………………………………………………………………………41.1.2中心极限定理…………………………………………………………………51.2大数定律与中心极限定理的关系………………………………………………61.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子…………………………………71.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子…………………………………81.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子…………………………………92大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用………………………………102.1在误差分析中的应用…………………………………………………………102.2在数学分析中的应用…………………………………………………………112.3在近似计算中的应用…………………………………………………………132.4在保险业中的应用……………………………………………………………142.5在企业管理方面的应用………………………………………………………15结论…………………………………………………………………………………16致谢…………………………………………………………………………………16参考文献……………………………………………………………………………173大数定律与中心极限定理的关系及应用摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用RelationshipandApplicationsbetweentheLawofLargeNumberandCentralLimitTheoremStudentmajoringinmathematicsandappliedmathematicsBaiYanfeiTutorLiuLiAbstract:Basedonthelawoflargenumbersandcentrallimittheoremintheindependentdistributionwiththedifferentdistributionofbothcases,itmakesmoresystematicexposition,andrevealsthephenomenonoftherandomnatureofthemostfundamentalanaverageoftheresultsoftheStability.Throughthecentrallimittheoremdiscussion,itgivesouttherandomvariablesandthedistributionofthenormaldistribution.Atthesametime,itdemonstratestherelationshipbetweenthetwoaspectsthroughlotsofanti-relatedexamples.Finally,itgivesoutseveralaspectsofapplicationsofanumberofsimplelawoflargenumbersandthecentrallimittheoreminerroranalysis,mathematicalanalysis,theapproximatecalculation,theinsuranceindustryandbusinessmanagementtofurtherclarifythelawoflargenumbersandthecentrallimittheoreminallbranchesoftheimportantroleandvalue.Keywords:Lawsoflargenumber;Central-limittheorem;Randomvariables;Applications引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分4布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。大数定律和中心极限定理的发展和研究经历了很长一段时间。伯努利于1713年首先提出被后人称之为“大数定律”的极限定理。1716年前后，棣莫弗对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为21的情况进行了讨论，随后，棣莫弗—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。自特征函数理论理论建立起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、企业管理部门等。大数定律和中心极限定理作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对两者之间的关系和应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对这两类定理的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中。下面文中就通过对大数定律和中心极限定理的讨论,给出了两者之间的关系,归结出一般性结论。最后列举了一些能用大数定律和中心极限定理来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明两者在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对这两类定理的理解。1大数定律与中心极限定理的关系1.1预备知识1.1.1大数定律大数定律使用极限方法研究大量随机现象的统计规律性。人们在长期的实践中发现，频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性，也就是说，无论个别测量值如何，其平均结果实际上与个别测量值的特征无关，几乎不再是随机的了。这种稳定性问题如何从理论上给出解释？这正是大数定律要解决的问题。阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定理都称为大数定律。一般的大数定律都涉及一个随机变量序列),2,1}({nn为此我们给出如下定义：定义1：设),2,1}({nn为概率空间},,{PF（其中:样本空间，:F事件域，P：概率）上定义的随机变量序列（简称随机序列），若存在随机变量,使对任意的＞0恒有0}{limnnP，或等价地有1}{limnnP，则称随机序列}{n依概率收敛于随机变量（也可以使一个常数），并用下面5的符号表示：nnlim)(P或Pn.定义2：设}{n为一随机序列，数学期望)(nE存在，令niinn11，若0][lim）（－nnnE)(P,则称随机序列}{n服从大数定律，或说大数法则成立。切比雪夫大数定律：设随机序列}{n为相互独立的随机序列，若nnaE)(,cDnn2)(，则}{n服从大数定律。马尔可夫定理：设随机序列}{n满足)(,1kEk，)(1nkkD且0)(1lim1nkknDn，那么}{n服从大数定律。格涅文科定理：设随机序列}{n相互独立，则对0，1})(1{lim1nkkknEnP的充要条件是nkkkkknEnEE12220})()({lim.1.1.2中心极限定理自从高斯指出测量误差服从正态分布后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见，例如炮弹的弹落点，人的身高、体重等都服从正态分布。观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用微小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布。这种现象就是中心极限定理的客观背景。中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题，其结论表明：当一个量受许多随机因素(主导因素除外)的共同影响而随机取值，则它的分布就近似服从正态分布。为了方便后文的叙述，我们给出如下定义：定义1：依分布收敛：设),2,1)((nxFn,)(xF分别为随机变量}{n),2,1(n以及的分布函数，若对于)(xF的任一连续点x有)()(limxFxFnn，则称随机序列}{n依分布收敛于，并称)(xF为{)(xFn}的极限分布函数。如果对于分布函数列)}({xFn存在一单调不降函数)(xF，使在)(xF的每一连续点上)()(limxFxFnn，则称)}({xFn弱收敛于)(xF，并记为)()(limxFxFnn）（W或)()(xFxFWn.6定义2：随即序列}{n服从中心极限定理：设}{n),2,1(n为相互独立随机变量序列，有有限的数学期望和方差:kkaE)(,2)(kkD),2,1(k令nkknDB12)(,nknkknBa1),2,1(n若对于Rz一致地有dyezPzynn22121}{lim，则称}{n服从中心极限定理。列维-林德伯格定理：设}{n),2,1(n为相互独立同分布的随机序列，且aEk）(,2)(kD)0(2),2,1(k，则{n}服从中心极限定理。费勒定理：设}{n),2,1(n为相互独立的随机序列，若常数nM，使nknkM1max，且0limnnnBM，则}{n服从中心极限定理。1.2大数定律与中心极限定理的关系大数定律和中心极限定理统称为极限定理，两者都深刻地揭示了大量随机现象的内在规律性。大数定律讨论的是关于独立随机变量序列的平均结果的极限，给出了取平均值的理论依据；而中心极限定理则告诉我们大量独立随机变量之和的极限分布为正态分布。由以上知识可知：当随机变量,,